Загрузка заданий...

Вариант 4029 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.

Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A2, A3, A5 и A6.

В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A2, A3, A5, A6.

Номер листа	Длина (мм)	Ширина (мм)
1	210	148
2	594	420
3	148	105
4	420	297

Решение

Разбор: Листы бумаги →

A2 имеет размеры 594 × 420 мм — это лист №2. A3: 420 × 297 мм — №4. A5: 210 × 148 мм — №1. A6: 148 × 105 мм — №3. Ответ: 2413.

2 Задание 2 1 балл

Сколько листов формата A3 получится из одного листа формата A2?

Решение

Разбор: Листы бумаги →

При переходе от формата A2 к формату A3 лист разрезают пополам, поэтому из одного A2 получается 2 листа A3. Ответ: 2.

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь листа формата A3. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение

Разбор: Листы бумаги →

Размер A3: 420 × 297 мм. Площадь равна 420 · 297 = 124740 мм². Так как 1 см² = 100 мм², получаем 124740 : 100 = 1247,4 см². Ответ: 1247,4.

4 Задание 4 1 балл

Найдите длину листа бумаги формата A1. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.

Решение

Разбор: Листы бумаги →

Формат A1 имеет размеры примерно 841 × 594 мм. Длина листа A1 равна 841 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 840. Ответ: 840.

5 Задание 5 1 балл

Бумагу формата A5 упаковали в пачки по 500 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 80 г. Ответ дайте в граммах.

Решение

Разбор: Листы бумаги →

Площадь листа A5 равна $\frac{1}{32}$ м². Масса одного листа: 80 : 32 = 2,5 г. В пачке 500 листов, значит масса пачки 2,5 · 500 = 1250 г. Ответ: 1250.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,3 + 0,06$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с десятичными дробями →

Вычислим значение выражения: $0,3 + 0,06$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,3) + 0,06 = 0,36$.

Ответ: $0,36$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из следующих чисел заключено между числами -3,125 и 4,8?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$-\frac{17}{5}$

1,4

$-\frac{29}{8}$

$-\frac{43}{10}$

Решение

Разбор: Сравнение чисел: корни, десятичные и обыкновенные дроби →

Сравним числа -3,125 и 4,8. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 2 (1,4) лежит между этими числами.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(5\sqrt{10})^2$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: (5√10)².

Используем свойство степени произведения: (5√10)² = 5² · (√10)².

Получаем 25 · 10 = 250.

Ответ: 250.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² + 6x + 9 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Разбор: Квадратное уравнение →

Решим уравнение: x² + 6x + 9 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = 6, c = 9.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = 6² - 4·1·9 = 0.

Так как D = 0, уравнение имеет один корень.

x = -6 / 2 = -3

Ответ: -3

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. В каждой из четырёх областей указана вероятность соответствующего события. Найдите вероятность события $A \cap B$.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →

Складываем вероятности тех областей диаграммы, которые входят в нужное событие.

Получаем 0,3.

Ответ: 0,3

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

Коэффициенты

А) a > 0, c < 0

Б) a > 0, c > 0

В) a < 0, c > 0

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Квадратичная функция. Графики →

Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 123.

12 Расчёты по формулам 1 балл

Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой t_F = 1,8t_C + 32, где t_C – температура в градусах Цельсия, t_F – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует 30 градусов по шкале Цельсия?

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Подставим t_C = 30 в формулу t_F = 1,8t_C + 32.

t_F = 1,8·(30) + 32 = 86.

Ответ: 86.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

-3x + 2 ≤ -7x + 2

[1;+∞)

[0;+∞)

(-∞;0]

(-∞;1]

Решение

Разбор: Линейные неравенства — выбор промежутка →

Решим неравенство: -3x + 2 <= -7x + 2.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 4x <= 0.

Делим обе части на 4: x <= 0.

Значит, x меньше или равно 0.

Этому соответствует промежуток (-∞;0].

Правильный ответ: 3.

Ответ: 3

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 0,8 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,2 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 9 секунд движения?

Решение

Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →

Это арифметическая прогрессия: a₁ = 0,8, d = 0,2, n = 9.

Сумма первых 9 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 14,4.

Ответ: 14,4.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Два катета прямоугольного треугольника равны 13 и 4. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Разбор: Треугольник — площадь →

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

S = $\frac{1}{2}$ · 13 · 4 = $\frac{52}{2}$ = 26.

Ответ: 26.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 14,5. Найдите BC, если AC = 20.

Решение

Разбор: Окружность — описанные окружности →

Если центр описанной окружности лежит на стороне AB, то AB — диаметр окружности.

Поэтому AB = 2R = 29.

Тогда треугольник ABC прямоугольный с прямым углом при C.

По теореме Пифагора находим неизвестный катет.

Ответ: 21.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины C, делит основание AD на отрезки длиной 17 и 17. Найдите длину основания BC.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — трапеция →

В равнобедренной трапеции при опускании высоты на большее основание оно делится на отрезки x и x+BC.

Следовательно, BC = 17 - 17 = 0.

Ответ: 0.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Во сколько раз отрезок AM длиннее отрезка BM?

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — треугольники →

Точка M лежит на стороне треугольника. Определяем соотношение по клеткам.

M делит AB: вектор AM=(3,6)=$\frac{3}{4}$·AB=(4,8). AM=3·BM.

Ответ: 3.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Неверно.

2) Неверно.

3) Верно.

Ответ: 3.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $41a-49b+26$, если $\dfrac{8a-7b+3}{7a-8b+3}=7$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $41a-49b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $8a-7b+3 = 7(7a-8b+3)$.

Шаг 2. Раскрываем: $8a-7b+3 = 49a-56b+21$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = 41a-49b+18$, откуда $41a-49b = -18$.

Шаг 4. Вычисляем: $41a-49b+26 = -18+26 = 8$.

Ответ: 8.

Правильный ответ: 8

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 93 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям по платформе со скоростью 3 км/ч, за 32 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: длина поезда = относительная скорость × время наблюдения (в метрах и секундах).

Шаг 1. Поезд и пешеход движутся в одном направлении. Относительная скорость:

93 − 3 = 90 км/ч.

Шаг 2. Переводим в м/с: 90 × 1000 / 3600 = 25 м/с.

Шаг 3. Поезд полностью минует пешехода за 32 с, значит его длина:

25 × 32 = 800 м.

Ответ: 800.

Правильный ответ: 800

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{(x^2+0,25)((x+1))}{-1-x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.

После сокращения получаем $ y=x^2+0,25,\ x\ne -1 $.

После преобразования получаем параболу $ y=x^2+a $ с выколотой точкой при $ x=-1 $.

Из анализа пересечений с прямой $ y=kx $ получаем: $ k=-1; 1; 1,25 $.

Ответ: $ -1; 1; 1,25 $.

Правильный ответ: -1; 1; 1,25

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 75 и 85. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: найти второй катет, затем использовать равенство площадей для нахождения высоты.

Шаг 1. Второй катет: √(85² − 75²) = √1600 = 40.

Шаг 2. Площадь треугольника через два катета: S = 75·$\frac{40}{2}$ = 1500.

Шаг 3. Площадь через гипотенузу 85 и высоту h к ней: S = 85·h/2.

Шаг 4. Из равенства площадей: h = 75·$\frac{40}{85}$ = 600/17.

Ответ: 600/17.

Правильный ответ: 600/17

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Биссектрисы углов B и C четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O, лежащей на стороне AD. Докажите, что точка O равноудалена от прямых AB, BC и CD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон этого угла.

Шаг 1. Точка O лежит на биссектрисе угла B.

⟹ расстояние от O до обеих сторон угла B одинаково.

Шаг 2. Точка O лежит на биссектрисе угла C.

⟹ расстояние от O до обеих сторон угла C одинаково.

Шаг 3. Объединяя: расстояние от O до каждой из прямых AB, BC и CD одинаково. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 10, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 112° и 113°.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: если середина стороны равноудалена от всех вершин, она — центр описанной окружности, а сторона — диаметр.

Шаг 1. M — середина AD и MA = MB = MC = MD, значит M — центр описанной окружности.

Тогда AD = 2R (диаметр).

Шаг 2. ∠ABD = 90° (вписанный угол, опирающийся на диаметр AD).

∠DBC = ∠B − 90° = 112° − 90° = 22°.

Шаг 3. ∠ACD = 90° (аналогично). ∠ACB = ∠C − 90° = 113° − 90° = 23°.

Шаг 4. ∠CAD = ∠CBD = 22° (вписанные углы на одну дугу CD).

∠ADB = ∠ACB = 23° (вписанные углы на одну дугу AB).

∠DAB = 90° − ∠ADB = 90° − 23° = 67°.

Шаг 5. ∠BAC = ∠DAB − ∠CAD = 67° − 22° = 45°.

Шаг 6. По теореме синусов: BC = AD · sin(∠BAC).

AD = BC / sin(45°) = 10 / sin(45°) = 10√2.

Ответ: 10√2.

Правильный ответ: 10√2

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.