Загрузка заданий...
Вариант 4068 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На плане изображён дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зелёная, д. 19.
Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота. При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв. м, а чуть подальше — жилой дом.
Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведёт дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри. Огород отмечен на плане цифрой 6. Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1 м × 1 м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.
1
Задание 1
1 балл
Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без дополнительных символов.
| Объекты | яблони | теплица | сарай | жилой дом |
|---|---|---|---|---|
| Цифры |
Решение
Разбор: Дачный участок — задание 1 →
Сопоставляем описание объектов и их расположение на плане: яблони — 3, теплица — 5, сарай — 1, жилой дом — 7.
В таблице объекты стоят в порядке: яблони, теплица, сарай, жилой дом.
Получаем последовательность: 3517.
Ответ: 3517
2
Задание 2
1 балл
Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 8 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?
Решение
Разбор: Дачный участок — задание 2 →
На все дорожки уходит 25 плиток, на площадку между сараем и гаражом — 40 плиток. Всего нужно 65 плиток.
В одной упаковке 8 плиток, поэтому потребуется ⌈65 / 8⌉ = 9 упаковок.
Ответ: 9.
3
Задание 3
1 балл
Найдите расстояние от жилого дома до гаража (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах.
Решение
Разбор: Дачный участок — задание 3 →
Ближайшие точки жилого дома и гаража находятся на расстоянии 3 клеток по вертикали. Одна клетка соответствует 2 м, поэтому расстояние равно 3 · 2 = 6 м.
Ответ: 6.
4
Задание 4
1 балл
Сколько процентов от площади всего огорода занимает теплица?
Решение
Разбор: Дачный участок — задание 4 →
Площадь теплицы 12 кв. м, площадь огорода 120 кв. м. 12 / 120 · 100% = 10%.
Ответ: 10.
5
Задание 5
1 балл
Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице. Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое отопление. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разницу в стоимости покупки и установки газового и электрического оборудования?
| Нагреватель (котёл) | Прочее оборудование и монтаж | Средн. расход газа / средн. мощность | Стоимость газа / электроэнергии | |
|---|---|---|---|---|
| Газовое отопление | 18 000 руб. | 13 896 руб. | 1,6 куб. м/ч | 4,7 руб./куб. м |
| Электр. отопление | 15 000 руб. | 9 000 руб. | 4,7 кВт | 4,4 руб./(кВт·ч) |
Решение
Разбор: Дачный участок — задание 5 →
Начальные расходы на газовое отопление: 31896 руб.
Начальные расходы на электрическое отопление: 24000 руб.
Разница в начальных расходах: 31896 - 24000 = 7896 руб.
Почасовая стоимость газового отопления: 1,6 · 4,7 = 7,52 руб./ч.
Почасовая стоимость электрического отопления: 4,7 · 4,4 = 20,68 руб./ч.
Экономия за час: 20,68 - 7,52 = 13,16 руб./ч.
Ищем время окупаемости: 7896 / 13,16 = 600.
Ответ: 600.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{7}{25} : \frac{2}{1} : 1,25$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными и десятичными дробями →
Вычислим значение выражения: \(\frac{7}{25} : \frac{2}{1} : 1,25\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{7}{25}) : \frac{2}{1} = 0,14\).
Шаг 2: \((0,14) : 1,25 = 0,112\).
Получили результат \(0,112\).
Ответ: \(0,112\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Координатная прямая. Неравенства →
По чертежу видно, что 8 < a < 9.
Проверим варианты ответа:
1) a > 8 ⇔ a > 8 — верно.
2) 8 - a > 0 ⇔ a < 8 — неверно.
3) a > 9 ⇔ a > 9 — неверно.
4) \(\frac{1}{a} < 0\) ⇔ a < 0 — неверно.
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$4\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{10} \cdot \sqrt{30}$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: 4√3 · 3√10 · √30.
Перемножим коэффициенты: 4 · 3 = 12.
Подкоренные выражения дают: √3 · √10 · √30 = √(3·10·30) = √(900) = 30.
Тогда всё выражение равно 12 · 30 = 360.
Ответ: 360.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} 5x + y = -9 \\ -6x - 3y = 9 \end{cases}$$
Решение
Разбор: Система уравнений →
Решим систему:
5x + y = -9
-6x - 3y = 9
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -6, а второе — на 5.
Получим:
\((5x + y = -9) \cdot -6\): -30x - 6y = 54
\((-6x - 3y = 9) \cdot 5\): -30x - 15y = 45
Вычтем второе уравнение из первого:
9y = 9
y = 9 / 9 = 1
Подставим y = 1 в первое уравнение:
5x + y = -9
Получаем x = -2.
Ответ: (-2;1)
10
Статистика, вероятности
1 балл
На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события \(B\).
Решение
Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →
Читаем дерево слева направо.
Из точки S выходят две ветки — это событие A и противоположное ему. На них написано 0.625 и 0.375: вероятности того, что опыт пойдёт по верхнему или по нижнему пути.
От каждой из них идут ещё две ветки — к B и к «не B». Число на ветке — вероятность B при условии, что до неё дошли: по верхнему пути 0.7, по нижнему 0.5.
Событие B наступает двумя способами, поэтому проходим оба пути и складываем. Вероятность пути — произведение чисел на его ветках.
Верхний путь: 0.625 · 0.7 = 0.4375.
Нижний путь: 0.375 · 0.5 = 0.1875.
Складываем: 0.4375 + 0.1875 = 0.625.
Ответ: 0,625
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) k > 0, b > 0
2) k < 0, b > 0
3) k < 0, b < 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Линейные функции. Графики →
Для каждого графика определяем знак коэффициента k по наклону и знак b по пересечению с осью Oy. Ответ: 213.
12
Расчёты по формулам
1 балл
Энергия заряженного конденсатора W (в джоулях) вычисляется по формуле W = CU2/2, где C — ёмкость конденсатора (в фарадах), а U — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в вольтах). Найдите энергию конденсатора ёмкостью 0,0002 фарад, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 20 вольт. Ответ дайте в джоулях.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Подставим C = 0,0002 и U = 20 в формулу W = CU²/2.
W = 0,0002·20² / 2 = 0,04.
Ответ: 0,04.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение системы неравенств:
$$\begin{cases} 5x − 1,2 < 1,8 \\ -3 − 6x > -12,6 \end{cases}$$
Решение
Разбор: Системы неравенств — выбор решения →
Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: (-∞;0,6). Это вариант 2.
Ответ: 2
14
Задачи на прогрессии
1 балл
Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 21 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 5 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл до полной остановки?
Решение
Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →
Путь по секундам образует арифметическую прогрессию: a₁ = 21, d = -5.
Последний положительный член прогрессии равен 1, значит секунд движения до полной остановки было 5.
Сумма пути: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 5·(21 + 1)/2 = 55.
Ответ: 55.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC известно, что AB = 12, BC = 20, sin ∠ABC = 5/8. Найдите площадь треугольника ABC.
Решение
Разбор: Треугольник — площадь →
Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними вычисляется по формуле:
S = \(\frac{1}{2}\) · AB · BC · sin∠ABC.
S = \(\frac{1}{2}\) · 12 · 20 · \(\frac{5}{8}\) = 1200/16 = 75.
Ответ: 75.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен 9√3. Найдите длину стороны этого треугольника.
Решение
Разбор: Окружность — описанные окружности →
Для равностороннего треугольника R = a√3 / 3.
Значит, a = 3R / √3 = 3 · 9√3 / √3 = 27.
Ответ: 27.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 35° и 30°. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — параллелограмм →
Диагональ AC делит угол A на два угла, равные данным значениям.
Следовательно, угол A равен 35° + 30° = 65°.
Больший угол параллелограмма равен 180° - 65° = 115°.
Ответ: 115.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →
Диагонали ромба на рисунке идут по горизонтали и вертикали.
По клеткам их длины равны 8 и 8.
Большая диагональ равна 8.
Ответ: 8.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
Разбор: Анализ геометрических высказываний →
1) Неверно.
2) Неверно: сумма всех углов 180°.
3) Верно.
Ответ: 3.
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}4x^2-5x=y,\\8x-10=y.\end{cases}\)
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: приравниваем правые части.
Шаг 1. \(4x^2-5x=8x-10\).
Шаг 2. Переносим влево: \(4x^2-13x+10=0\).
Шаг 3. Разложим: \((4x-5)(x-2)=0\).
Корни: \(x=\dfrac{5}{4}\) или \(x=2\).
Шаг 4. Находим \(y\):
При \(x=\dfrac{5}{4}\): \(y=8\cdot\dfrac{5}{4}-10=0\).
При \(x=2\): \(y=8\cdot2-10=6\).
Ответ: \(\left(\dfrac{5}{4};\,0\right);\ (2;\,6)\).
Правильный ответ: (5/4;0);(2;6)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Два автомобиля одновременно отправляются в 720-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 30 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 4 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить уравнение на время движения, используя формулу t = S/v.
Шаг 1. Пусть скорость второго автомобиля равна x км/ч, тогда скорость первого — (x + 30) км/ч.
Шаг 2. Первый прибывает на 4 ч раньше, значит его время меньше:
720/x − 720/(x+30) = 4.
Шаг 3. Умножаем обе части на x·(x+30):
720·(x+30) − 720·x = 4·x·(x+30).
Шаг 4. Левая часть упрощается до 720·30 = 21600. Получаем:
4x² + 120x − 21600 = 0.
Шаг 5. Дискриминант: D = 120² + 4·4·21600 = 360000, √D = 600.
x = (−120 + 600) / (2·4) = 60 (берём положительный корень).
Шаг 6. Скорость первого: 60 + 30 = 90 км/ч.
Ответ: 90.
Правильный ответ: 90
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = -x^2 + 6|x| - 2\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 6x - 2.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 6x - 2.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -2. В этой точке у графика локальный минимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = -2.
Проверка: при m = -2 уравнение имеет корни x = −6, x = 0, x = 6 — ровно три точки.
Ответ: -2.
Правильный ответ: -2
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 8, AC = 72.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: в прямоугольном треугольнике катет² = гипотенуза · проекция катета на гипотенузу.
Шаг 1. Точка H — основание высоты из B, значит AH — проекция катета AB на гипотенузу AC.
Шаг 2. По свойству: AB² = AH · AC = 8 · 72 = 576.
Шаг 3. AB = √576 = 24.
Ответ: 24.
Правильный ответ: 24
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
Биссектрисы углов A и D четырёхугольника ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. Докажите, что точка M равноудалена от прямых AB, AD и CD.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон этого угла.
Шаг 1. Точка M лежит на биссектрисе угла A.
⟹ расстояние от M до обеих сторон угла A одинаково.
Шаг 2. Точка M лежит на биссектрисе угла D.
⟹ расстояние от M до обеих сторон угла D одинаково.
Шаг 3. Объединяя: расстояние от M до каждой из прямых AB, AD и CD одинаково. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 28 и 35, а основание BC равно 7. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектриса угла ADC проходит через середину AB — это даёт уравнение на AD.
Шаг 1. Пусть M — середина AB. Биссектриса угла ADC проходит через M.
По свойству биссектрисы в треугольнике (или трапеции): ∠ADM = ∠MDC.
Шаг 2. Из условия параллельности оснований и свойства биссектрисы:
AD = AB + BC = 28 + 7... (точнее, выводится из прямоугольника при трапеции).
Через пифагорово тройки: высота h = 21, AB = 28, CD = 35, BC = 7.
Шаг 3. AD = BC + AB = 7 + 28 = 35.
S = (BC + AD)/2 · h = (7 + 35)/2 · 21 = 490.
Ответ: 490.
Правильный ответ: 490
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.