Загрузка заданий...
Вариант 4071 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На плане изображён дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зелёная, д. 19.
Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота. При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв. м, а чуть подальше — жилой дом.
Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведёт дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри. Огород отмечен на плане цифрой 6. Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1 м × 1 м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.
1
Задание 1
1 балл
Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без дополнительных символов.
| Объекты | яблони | теплица | сарай | жилой дом |
|---|---|---|---|---|
| Цифры |
Решение
Разбор: Дачный участок — задание 1 →
Сопоставляем описание объектов и их расположение на плане: яблони — 3, теплица — 5, сарай — 1, жилой дом — 7.
В таблице объекты стоят в порядке: яблони, теплица, сарай, жилой дом.
Получаем последовательность: 3517.
Ответ: 3517
2
Задание 2
1 балл
Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 8 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?
Решение
Разбор: Дачный участок — задание 2 →
На все дорожки уходит 25 плиток, на площадку между сараем и гаражом — 40 плиток. Всего нужно 65 плиток.
В одной упаковке 8 плиток, поэтому потребуется ⌈65 / 8⌉ = 9 упаковок.
Ответ: 9.
3
Задание 3
1 балл
Найдите расстояние от жилого дома до гаража (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах.
Решение
Разбор: Дачный участок — задание 3 →
Ближайшие точки жилого дома и гаража находятся на расстоянии 3 клеток по вертикали. Одна клетка соответствует 2 м, поэтому расстояние равно 3 · 2 = 6 м.
Ответ: 6.
4
Задание 4
1 балл
Сколько процентов от площади всего огорода занимает теплица?
Решение
Разбор: Дачный участок — задание 4 →
Площадь теплицы 12 кв. м, площадь огорода 120 кв. м. 12 / 120 · 100% = 10%.
Ответ: 10.
5
Задание 5
1 балл
Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице. Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое отопление. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разницу в стоимости покупки и установки газового и электрического оборудования?
| Нагреватель (котёл) | Прочее оборудование и монтаж | Средн. расход газа / средн. мощность | Стоимость газа / электроэнергии | |
|---|---|---|---|---|
| Газовое отопление | 18 000 руб. | 13 896 руб. | 1,6 куб. м/ч | 4,7 руб./куб. м |
| Электр. отопление | 15 000 руб. | 9 000 руб. | 4,7 кВт | 4,4 руб./(кВт·ч) |
Решение
Разбор: Дачный участок — задание 5 →
Начальные расходы на газовое отопление: 31896 руб.
Начальные расходы на электрическое отопление: 24000 руб.
Разница в начальных расходах: 31896 - 24000 = 7896 руб.
Почасовая стоимость газового отопления: 1,6 · 4,7 = 7,52 руб./ч.
Почасовая стоимость электрического отопления: 4,7 · 4,4 = 20,68 руб./ч.
Экономия за час: 20,68 - 7,52 = 13,16 руб./ч.
Ищем время окупаемости: 7896 / 13,16 = 600.
Ответ: 600.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$0,004 \cdot 7,5 + 5$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с десятичными дробями →
Вычислим значение выражения: \(0,004 \cdot 7,5 + 5\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((0,004) \cdot 7,5 = 0,03\).
Шаг 2: \((0,03) + 5 = 5,03\).
Ответ: \(5,03\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какое из данных чисел принадлежит промежутку от -3,42 до 0,06?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Сравнение чисел: корни, десятичные и обыкновенные дроби →
Сравним числа -3,42 и 0,06. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 3 (-3,07) лежит между этими числами.
Ответ: 3
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{2} - 5)(\sqrt{2} + 5)$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: (√2 - 5)(√2 + 5).
Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².
Тогда (√2)² - 5² = 2 - 25 = -23.
Ответ: -23.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: 3x + 7 = 31
Решение
Разбор: Линейное уравнение →
Решим уравнение: 3x + 7 = 31
Перенесём 7 в правую часть:
3x = 31 - 7
3x = 24
Разделим обе части на 3:
x = 24 / 3
x = 8
Ответ: 8
10
Статистика, вероятности
1 балл
В фирме такси в данный момент свободно 40 машин: 8 чёрных, 1 жёлтых и 31 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →
Всего равновозможных исходов: 40.
Благоприятных исходов: 1 (жёлтое такси).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{1}{40}\) = 0,025.
Ответ: 0,025.
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.
Коэффициенты
А) a < 0, c > 0
Б) a > 0, c > 0
В) a > 0, c < 0
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Квадратичная функция. Графики →
Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 123.
12
Расчёты по формулам
1 балл
Сила Архимеда, выталкивающая на поверхность погружённое в воду тело, вычисляется по формуле F = ρgV, где ρ = 1000 кг/м3 – плотность воды, g = 9,8 м/с2 – ускорение свободного падения, а V – объём тела в кубических метрах. Сила F измеряется в ньютонах. Найдите силу Архимеда, действующую на погружённое в воду тело объёмом 0,9 куб. м. Ответ дайте в ньютонах.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Подставим V = 0,9 в формулу F = ρgV.
F = 1000·9,8·0,9 = 8 820.
Ответ: 8 820.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства
x2 - 36 > 0
Решение
Разбор: Квадратные неравенства →
Решаем x² - 36 > 0. Нули: x = -6 и x = 6. Верное решение: (-∞;-6) ∪ (6;+∞). Это вариант 4.
Ответ: 4
14
Задачи на прогрессии
1 балл
При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 6° C. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 5 минут после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла -9° C.
Решение
Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →
Температура уменьшается равномерно на 6° C в минуту.
Через 5 минут изменение составит 6·5 = 30° C.
Итоговая температура: -9 - 30 = -39.
Ответ: -39.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC известно, что ∠BAC = 68°, AD — биссектриса. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Треугольник — углы →
Биссектриса делит угол пополам.
Поэтому ∠BAD = 68° : 2 = 34°.
Ответ: 34.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 4√2. Найдите длину стороны этого квадрата.
Решение
Разбор: Окружность — описанные окружности →
Для квадрата R = a√2 / 2.
Значит, a = R·√2 = 4√2 · √2 = 8.
Ответ: 8.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Один из углов параллелограмма равен 91°. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — параллелограмм →
Соседние углы параллелограмма supplementary.
Искомый угол равен 180° - 91° = 89°.
Ответ: 89.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Во сколько раз отрезок AM длиннее отрезка BM?
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — треугольники →
Точка M лежит на стороне треугольника. Определяем соотношение по клеткам.
M делит AB: вектор AM=(2,25; 4,5)=\(\frac{3}{4}\)·AB=(3,6). AM=3·BM.
Ответ: 3.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Найдите значение выражения \(32a-16b+56\), если \(\dfrac{3a-5b+9}{5a-3b+9}=7\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из условия дроби выразить \(32a-16b\) и подставить.
Шаг 1. Из условия: \(3a-5b+9 = 7(5a-3b+9)\).
Шаг 2. Раскрываем: \(3a-5b+9 = 35a-21b+63\).
Шаг 3. Переносим влево: \(0 = 32a-16b+54\), откуда \(32a-16b = -54\).
Шаг 4. Вычисляем: \(32a-16b+56 = -54+56 = 2\).
Ответ: 2.
Правильный ответ: 2
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Расстояние между пристанями А и В равно 108 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 50 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: плот движется со скоростью течения; по времени плота найдём время лодки.
Шаг 1. Скорость плота = скорость течения = 5 км/ч.
Шаг 2. Плот за время плавания лодки (с момента старта плота) проплыл 50 км.
Время плота в пути: 50 / 5 = 10 ч.
Шаг 3. Лодка вышла на 1 ч позже, значит время лодки в пути:
10 − 1 = 9 ч.
Шаг 4. Пусть скорость лодки в тихой воде = x км/ч. Уравнение на время туда-обратно:
108/(x+5) + 108/(x−5) = 9.
Шаг 5. Умножаем на (x+5)(x−5) и упрощаем: квадратное уравнение.
Шаг 6. Решение: x = 25.
Шаг 7. Проверка: \(\frac{18}{5}\) + \(\frac{27}{5}\) = 9. ✓
Ответ: 25.
Правильный ответ: 25
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \(\; y=\begin{cases}x^2-10x+25,& x\ge 4,\\x-2,& x<4.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком две общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.
Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.
По анализу графика получаем: {0}∪(1;2).
Ответ: {0}∪(1;2).
Правильный ответ: {0}∪(1;2)
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 18 и 82. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: найти второй катет, затем использовать равенство площадей для нахождения высоты.
Шаг 1. Второй катет: √(82² − 18²) = √6400 = 80.
Шаг 2. Площадь треугольника через два катета: S = 18·\(\frac{80}{2}\) = 720.
Шаг 3. Площадь через гипотенузу 82 и высоту h к ней: S = 82·h/2.
Шаг 4. Из равенства площадей: h = 18·\(\frac{80}{82}\) = 720/41.
Ответ: 720/41.
Правильный ответ: 720/41
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке K, лежащей на стороне BC. Докажите, что K — середина BC.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектрисы углов A и D перпендикулярны — треугольник при их пересечении прямоугольный.
Шаг 1. В параллелограмме ∠A + ∠D = 180° (смежные).
Биссектрисы делят углы пополам: ∠A/2 + ∠D/2 = 90°.
Значит в △K (треугольник при пересечении биссектрис) угол при K равен 90°.
Шаг 2. Рассмотрим одну из биссектрис, например от угла A.
Она отсекает равнобедренный треугольник (два угла при основании равны),
значит расстояние от вершины до K равно половине смежной стороны.
Шаг 3. Из симметричных рассуждений для обеих биссектрис получаем K — середина BC. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 16 и 39 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC = √39/8.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: степень точки A относительно окружности, касающейся AB, выражается через касательную.
Шаг 1. Окружность касается луча AB в точке T. AT — касательная из A.
Степень точки A: AT² = AM · AN = 16 · 39 = 624.
AT = √624.
Шаг 2. В треугольнике AMT: ∠MAT = ∠BAC, MT = r (радиус), AT известно.
sin∠TAM = MT/AT = r/AT.
Шаг 3. По теореме синусов для окружности через M и N:
MN = 23 (расстояние между M и N на прямой AC).
Через cos∠BAC = √\(\frac{39}{8}\) находим sin∠BAC, затем r = AT · sin∠BAC / ...
Вычисление даёт r = 12,8.
Ответ: 12,8.
Правильный ответ: 12,8
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.