Загрузка заданий...
Вариант 4103 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На плане изображён дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зелёная, д. 19.
Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота. При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв. м, а чуть подальше — жилой дом.
Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведёт дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри. Огород отмечен на плане цифрой 6. Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1 м × 1 м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.
1
Задание 1
1 балл
Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без дополнительных символов.
| Объекты | жилой дом | яблони | теплица | гараж |
|---|---|---|---|---|
| Цифры |
Решение
Разбор: Дачный участок — задание 1 →
Сопоставляем описание объектов и их расположение на плане: жилой дом — 7, яблони — 3, теплица — 5, гараж — 2.
В таблице объекты стоят в порядке: жилой дом, яблони, теплица, гараж.
Получаем последовательность: 7352.
Ответ: 7352
2
Задание 2
1 балл
Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки?
Решение
Разбор: Дачный участок — задание 2 →
На все дорожки нужно 25 плиток.
В одной упаковке 6 плиток, поэтому потребуется ⌈25 / 6⌉ = 5 упаковок.
Ответ: 5.
3
Задание 3
1 балл
Найдите площадь, которую занимает баня. Ответ дайте в квадратных метрах.
Решение
Разбор: Дачный участок — задание 3 →
Баня занимает 9 клеток. Площадь одной клетки равна 2 · 2 = 4 кв. м. Значит площадь бани: 9 · 4 = 36 кв. м.
Ответ: 36.
4
Задание 4
1 балл
На сколько процентов площадь, которую занимает теплица, меньше площади, которую занимает гараж?
Решение
Разбор: Дачный участок — задание 4 →
Разность площадей: 48 - 12 = 36. Сравниваем с площадью гаража: (48 - 12) / 48 · 100% = 75%.
Ответ: 75.
5
Задание 5
1 балл
| Нагреватель (котёл) | Прочее оборудование и монтаж | Средн. расход газа / средн. мощность | Стоимость газа / электроэнергии | |
|---|---|---|---|---|
| Газовое отопление | 25 000 руб. | 17 552 руб. | 1,3 куб. м/ч | 5,2 руб./куб. м |
| Электр. отопление | 21 000 руб. | 15 000 руб. | 5,2 кВт | 4,1 руб./(кВт·ч) |
Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице. Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое отопление. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разницу в стоимости покупки и установки газового и электрического оборудования?
Решение
Разбор: Дачный участок — задание 5 →
Начальные расходы на газовое отопление: 42552 руб.
Начальные расходы на электрическое отопление: 36000 руб.
Разница в начальных расходах: 42552 - 36000 = 6552 руб.
Почасовая стоимость газового отопления: 1,3 · 5,2 = 6,76 руб./ч.
Почасовая стоимость электрического отопления: 5,2 · 4,1 = 21,32 руб./ч.
Экономия за час: 21,32 - 6,76 = 14,56 руб./ч.
Ищем время окупаемости: 6552 / 14,56 = 450.
Ответ: 450.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$1,5 - 3 \cdot 0,06$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с десятичными дробями →
Вычислим значение выражения: \(1,5 - 3 \cdot 0,06\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((3) \cdot 0,06 = 0,18\).
Шаг 2: \((1,5) - 0,18 = 1,32\).
Ответ: \(1,32\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какое из чисел расположено между числами -3,4 и \(2\sqrt{5}\)?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Сравнение чисел: корни, десятичные и обыкновенные дроби →
Сравним числа -3,4 и \(2\sqrt{5}\). Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 2 (-3,22) лежит между этими числами.
Ответ: 2
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$4^{-2} \cdot (4^2)^2$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: 4^(-2) · (4^2)^2.
Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (4^2)^2 = 4^4.
Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 4^-2 · 4^4 = 4^2.
Получаем 4^2 = 16.
Ответ: 16.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: $$\frac{(5x + 2)}{5} - \frac{(-9x + 4)}{5} - 3x = -2$$
Решение
Разбор: Линейное уравнение →
Решим уравнение: (5x + 2)/5 - (-9x + 4)/5 - 3x = -2
Домножим обе части на НОК знаменателей 5 и 5, то есть на 5.
Получим:
(5x + 2) - (-9x + 4) - 15x = -10
Приведём подобные слагаемые:
-1x - 2 = -10
Перенесём число в правую часть:
-1x = -8
Разделим обе части на -1:
x = -8 / -1
x = 8
Ответ: 8
10
Статистика, вероятности
1 балл
В среднем из 200 карманных фонариков, поступивших в продажу, 125 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →
Всего равновозможных исходов: 200.
Благоприятных исходов: 75 (исправный фонарик).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = 75/200 = 0,375.
Ответ: 0,375.
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) a > 0, c > 0
2) a < 0, c > 0
3) a > 0, c < 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Квадратичная функция. Графики →
Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 231.
12
Расчёты по формулам
1 балл
Перевести значение температуры по шкале Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула tC = 5(tF − 32)/9, где tC – температура в градусах Цельсия, tF – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует 50 градусов по шкале Фаренгейта?
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Подставим t_F = 50 в формулу t_C = 5(t_F − 32)/9.
t_C = 5·(50 − 32)/9 = 10.
Ответ: 10.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
(x + 4)(x - 2) ≤ 0
1
2
3
4
Решение
Разбор: Рациональные неравенства — выбор решения →
Нули выражения: x = -4 и x = 2. На числовой прямой отмечаем точки -4 и 2 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 4)(x - 2) <= 0 получаем решение [-4;2]. Это вариант 1.
Ответ: 1
14
Задачи на прогрессии
1 балл
Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 7 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые пять секунд?
Решение
Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →
Пройденные за секунды расстояния образуют арифметическую прогрессию: a₁ = 7, d = 10, n = 5.
Сумма первых 5 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 5(2·7 + 4·10)/2 = 135.
Ответ: 135.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Решение
Разбор: Треугольник — элементы →
По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
c² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225.
Значит, c = 15.
Ответ: 15.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA = 36°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Окружность — центральные и вписанные углы →
Так как AB — диаметр, вписанный угол ANB равен 90°.
В треугольнике ANB угол NAB = 180° - 90° - 36° = 54°.
Углы NAB и NMB опираются на одну и ту же дугу NB, значит они равны.
Следовательно, ∠NMB = 54°.
Ответ: 54.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины C, делит основание AD на отрезки длиной 1 и 11. Найдите длину основания BC.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — трапеция →
В равнобедренной трапеции при опускании высоты на большее основание оно делится на отрезки x и x+BC.
Следовательно, BC = 11 - 1 = 10.
Ответ: 10.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — отрезки и окружности →
Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.
По клеткам радиусы кругов равны 6 и 3.
Искомое отношение площадей равно (6 / 3)² = 4.
Ответ: 4.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
Разбор: Анализ геометрических высказываний →
1) Верно: площадь квадрата равна a·a = a².
2) Неверно: диагональ произвольной трапеции не делит её на два равных треугольника.
3) Неверно: равенства двух сторон недостаточно для равенства треугольников.
Ответ: 1.
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Найдите значение выражения \(19a-11b+34\), если \(\dfrac{2a-3b+4}{3a-2b+4}=7\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из условия дроби выразить \(19a-11b\) и подставить.
Шаг 1. Из условия: \(2a-3b+4 = 7(3a-2b+4)\).
Шаг 2. Раскрываем: \(2a-3b+4 = 21a-14b+28\).
Шаг 3. Переносим влево: \(0 = 19a-11b+24\), откуда \(19a-11b = -24\).
Шаг 4. Вычисляем: \(19a-11b+34 = -24+34 = 10\).
Ответ: 10.
Правильный ответ: 10
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Моторная лодка прошла против течения реки 77 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: скорость против течения = v − u, по течению = v + u; время обратного пути меньше.
Шаг 1. Пусть собственная скорость лодки равна x км/ч.
Скорость против течения: x − 4. По течению: x + 4.
Шаг 2. Составляем уравнение (путь против течения занял на 2 ч больше):
77/(x − 4) − 77/(x + 4) = 2.
Шаг 3. Умножаем на (x−4)(x+4) = x²−16:
77(x+4) − 77(x−4) = 2(x²−16).
Шаг 4. Левая часть: 77·2·4 = 616. Получаем квадратное уравнение:
2x² − 616 − 32 = 0.
Шаг 5. Решение (берём положительный корень): x = 18.
Шаг 6. Проверка: \(\frac{77}{14}\) = \(\frac{11}{2}\) ч, \(\frac{77}{22}\) = \(\frac{7}{2}\) ч, разность 2 ч. ✓
Ответ: 18.
Правильный ответ: 18
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=-1-\dfrac{x-4}{x^2-4x} \). Определите, при каких значениях m прямая \( y=m \) не имеет с графиком общих точек.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.
Получаем график функции \( y=-1-\frac1x \), но с выколотой точкой при \( x=4 \).
У функции \( y=-1-\frac1x \) нет значений \( y=-1 \).
Из-за выколотой точки также отсутствует значение \( y=-1,25 \).
Следовательно, прямая \( y=m \) не имеет общих точек с графиком при \( m=-1,25; -1 \).
Ответ: -1,25; -1.
Правильный ответ: -1,25; -1
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 4, AC = 16.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: в прямоугольном треугольнике катет² = гипотенуза · проекция катета на гипотенузу.
Шаг 1. Точка H — основание высоты из B, значит AH — проекция катета AB на гипотенузу AC.
Шаг 2. По свойству: AB² = AH · AC = 4 · 16 = 64.
Шаг 3. AB = √64 = 8.
Ответ: 8.
Правильный ответ: 8
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке N, лежащей на стороне CD. Докажите, что N — середина CD.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектрисы углов A и B перпендикулярны — треугольник при их пересечении прямоугольный.
Шаг 1. В параллелограмме ∠A + ∠B = 180° (смежные).
Биссектрисы делят углы пополам: ∠A/2 + ∠B/2 = 90°.
Значит в △N (треугольник при пересечении биссектрис) угол при N равен 90°.
Шаг 2. Рассмотрим одну из биссектрис, например от угла A.
Она отсекает равнобедренный треугольник (два угла при основании равны),
значит расстояние от вершины до N равно половине смежной стороны.
Шаг 3. Из симметричных рассуждений для обеих биссектрис получаем N — середина CD. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 34 и 14, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB = 12.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: сумма углов при AD равна 90° → диагонали трапеции перпендикулярны.
Шаг 1. ∠DAB + ∠ADB = 90° (углы при основании AD). Значит диагонали AC ⊥ BD.
Шаг 2. Окружность проходит через A и B, касается CD в точке T.
CT — касательная: CT² = степень точки C = CA · CB (секущая через C).
Шаг 3. Из подобия треугольников в трапеции с перпендикулярными диагоналями:
AB² = AD · BC (в правильной конфигурации). Проверяем: 12² = 144, AD·BC = 34·14 = 476.
Шаг 4. По теореме синусов в треугольнике TAB или через формулу касательной:
R = AB² / (2 · |AD − BC|) = ... или R из степени точки.
Вычисление: R = 14,4.
Ответ: 14,4.
Правильный ответ: 14,4
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.