Загрузка заданий...

Вариант 487 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 08.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.

Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 185/70 R14.

Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.

1 Задание 1 1 балл

Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 16 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Разбор: Шины →

Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 195.

2 Задание 2 1 балл

Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 225/40 R18?

Решение

Разбор: Шины →

В маркировке 225/40 R18 ширина шины равна 225 мм, а высота боковины составляет 40% от ширины. H = 225 · 40 / 100 = 90 мм. Ответ: 90.

3 Задание 3 1 балл

На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 195/60 R15?

Решение

Разбор: Шины →

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 185/70 R14 и нового колеса 195/60 R15. Ответ: 0.4.

4 Задание 4 1 балл

Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Разбор: Шины →

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 185/70 R14 получаем диаметр 614.6 мм. Ответ: 614.6.

5 Задание 5 1 балл

На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 195/70 R14? Результат округлите до десятых.

Решение

Разбор: Шины →

Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 185/70 R14 и колеса 195/70 R14, затем находим процентное изменение. Ответ: 2.3.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,4 + \frac{1}{40}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с обыкновенными и десятичными дробями →

Вычислим значение выражения: $0,4 + \frac{1}{40}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,4) + \frac{1}{40} = 0,425$.

Получили результат $0,425$.

Ответ: $0,425$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Одно из чисел $\frac{-14}{3}$, 0,8, $\sqrt{5}$, $\sqrt{21}$ отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.

В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{-14}{3}$

0,8

$\sqrt{5}$

$\sqrt{21}$

Решение

Разбор: Числовые неравенства, координатная прямая. Числа на прямой →

По чертежу видно, что точка A имеет координату между 4 и 5.

Сравним варианты по приближённым значениям:

1) $\frac{-14}{3}$ ≈ -4,6667

2) 0,8 ≈ 0,8

3) $\sqrt{5}$ ≈ 2,2361

4) $\sqrt{21}$ ≈ 4,5826

Точке A соответствует вариант 4.

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$3\sqrt{7} \cdot 6\sqrt{5} \cdot \sqrt{35}$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: 3√7 · 6√5 · √35.

Перемножим коэффициенты: 3 · 6 = 18.

Подкоренные выражения дают: √7 · √5 · √35 = √(7·5·35) = √(1225) = 35.

Тогда всё выражение равно 18 · 35 = 630.

Ответ: 630.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Разбор: Квадратное уравнение →

Решим уравнение: x² = 0

Коэффициенты: a = 1, b = 0, c = 0.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = 0² - 4·1·0 = 0.

Так как D = 0, уравнение имеет один корень.

x = 0 / 2 = 0

Ответ: 0

10 Статистика, вероятности 1 балл

У бабушки 25 чашек: 2 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →

Всего равновозможных исходов: 25.

Благоприятных исходов: 23 (чашка с синими цветами).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{23}{25}$ = 0,92.

Ответ: 0,92.

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) $y = \dfrac{9}{x}$

Б) $y = -x^2 + 7x - 7$

В) $y = -\dfrac{1}{5}x - 5$

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Графики разных функций →

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 321.

Ответ: 321

12 Расчёты по формулам 1 балл

Энергия заряженного конденсатора W (в джоулях) вычисляется по формуле W = CU²/2, где C — ёмкость конденсатора (в фарадах), а U — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в вольтах). Найдите энергию конденсатора ёмкостью 0,0002 фарад, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 13 вольт. Ответ дайте в джоулях.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Подставим C = 0,0002 и U = 13 в формулу W = CU²/2.

W = 0,0002·13² / 2 = 0,0169.

Ответ: 0,0169.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

(x + 1)(x - 6) ≤ 0

Решение

Разбор: Рациональные неравенства — выбор решения →

Нули выражения: x = -1 и x = 6. На числовой прямой отмечаем точки -1 и 6 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 1)(x - 6) <= 0 получаем решение [-1;6]. Это вариант 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 9 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 320 мг. Найдите массу изотопа через 63 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение

Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →

Масса образует геометрическую прогрессию с первым членом 320 и знаменателем $\frac{1}{2}$.

За 63 минут пройдёт 7 промежутков по 9 минут.

Тогда масса станет равна 320·($\frac{1}{2}$)^7 = 2,5 мг.

Ответ: 2,5.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Катеты прямоугольного треугольника равны 20 и 21. Найдите гипотенузу этого треугольника.

Решение

Разбор: Треугольник — элементы →

По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

c² = 20² + 21² = 400 + 441 = 841.

Значит, c = 29.

Ответ: 29.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 85°, угол CAD равен 41°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Решение

Разбор: Окружность — центральные и вписанные углы →

Углы ABD и ACD опираются на одну и ту же дугу AD, значит ∠ACD = ∠ABD.

Следовательно, ∠ACD = 85°.

Угол ABC опирается на дугу AC, состоящую из дуг AD и DC, поэтому

∠ABC = ∠ABD + ∠DBC, а здесь эквивалентно удобно взять в треугольнике ACD:

угол между AC и CD равен сумме углов, опирающихся на соответствующие дуги.

Получаем ∠ABC = 85° + 41° = 126°.

Ответ: 126.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

В равнобедренной трапеции известна высота, большее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите меньшее основание, если высота равна 5, большее основание равно 15, а угол при основании равен 45°.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — трапеция →

При угле 45° разность оснований равна двум высотам.

Меньшее основание равно 15 - 2·5 = 5.

Ответ: 5.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите её площадь.

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

По клеткам основания равны 4 и 10, высота равна 4.

S = (4 + 10) / 2 · 4 = 28.

Ответ: 28.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Если три угла одного треугольника равны соответственно трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.

Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Неверно: из равенства трёх углов следует подобие, а не равенство.

2) Верно.

3) Верно.

Ответ: 23.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $2a-62b+27$, если $\dfrac{7a-b+2}{a-7b+2}=9$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $2a-62b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $7a-b+2 = 9(a-7b+2)$.

Шаг 2. Раскрываем: $7a-b+2 = 9a-63b+18$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = 2a-62b+16$, откуда $2a-62b = -16$.

Шаг 4. Вычисляем: $2a-62b+27 = -16+27 = 11$.

Ответ: 11.

Правильный ответ: 11

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Проценты, смеси и сплавы

Имеются два сосуда, содержащие 4 кг и 16 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 57% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 60% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить систему уравнений на концентрации двух растворов.

Шаг 1. Пусть концентрация кислоты в 1-м сосуде — x, во 2-м — y.

Шаг 2. При полном смешивании 20 кг получается раствор с концентрацией 57%:

4·x + 16·y = 20·0,57 = 11,4 ...(1).

Шаг 3. При смешивании равных масс концентрация 60%:

(x + y)/2 = 0,60 ⟹ x + y = 1,20 ...(2).

Шаг 4. Из (2): y = 1,20 − x. Подставляем в (1):

4·x + 16·(1,20 − x) = 11,4

4x + 19,2 − 16x = 11,4

−12x = −7,8 ⟹ x = 0,65.

Шаг 5. Масса кислоты в 1-м сосуде: 4·0,65 = 2,6 кг.

Ответ: 2,6.

Правильный ответ: 2,6

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = -x^2 + 4|x| - 2\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 4x - 2.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 4x - 2.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -2. В этой точке у графика локальный минимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = -2.

Проверка: при m = -2 уравнение имеет корни x = −4, x = 0, x = 4 — ровно три точки.

Ответ: -2.

Правильный ответ: -2

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен 16, а AB = 15.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: использовать формулу D = (AC² − AB²)/AC и решить уравнение относительно AC.

Шаг 1. Из условия задачи D = 16, AB = 15.

Шаг 2. Формула: D = (AC² − AB²)/AC ⟹ D·AC = AC² − AB².

AC² − 16·AC − 15² = 0.

Шаг 3. Решаем квадратное уравнение: AC² − 16·AC − 225 = 0.

Положительный корень: AC = 25.

Проверка: D = (25² − 15²)/25 = 400/25 = 16. ✓

Ответ: 25.

Правильный ответ: 25

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках O₁ и O₂ не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении p:q. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как p:q.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: точка T пересечения касательной с линией центров — центр гомотетии.

Шаг 1. Проведём радиусы O₁A и O₂B к точкам касания касательной.

Оба радиуса ⊥ касательной ⟹ O₁A ∥ O₂B.

Шаг 2. В треугольниках TO₁A и TO₂B (T — точка на O₁O₂):

∠ATO₁ = ∠BTO₂ (вертикальные), O₁A ∥ O₂B ⟹ оба треугольника подобны.

Коэффициент подобия = TO₁/TO₂ = p:q.

Шаг 3. TO₁/TO₂ = r₁/r₂ = d₁/d₂.

Следовательно, диаметры относятся как p:q. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 18, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 132° и 93°.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: если середина стороны равноудалена от всех вершин, она — центр описанной окружности, а сторона — диаметр.

Шаг 1. M — середина AD и MA = MB = MC = MD, значит M — центр описанной окружности.

Тогда AD = 2R (диаметр).

Шаг 2. ∠ABD = 90° (вписанный угол, опирающийся на диаметр AD).

∠DBC = ∠B − 90° = 132° − 90° = 42°.

Шаг 3. ∠ACD = 90° (аналогично). ∠ACB = ∠C − 90° = 93° − 90° = 3°.

Шаг 4. ∠CAD = ∠CBD = 42° (вписанные углы на одну дугу CD).

∠ADB = ∠ACB = 3° (вписанные углы на одну дугу AB).

∠DAB = 90° − ∠ADB = 90° − 3° = 87°.

Шаг 5. ∠BAC = ∠DAB − ∠CAD = 87° − 42° = 45°.

Шаг 6. По теореме синусов: BC = AD · sin(∠BAC).

AD = BC / sin(45°) = 18 / sin(45°) = 18√2.

Ответ: 18√2.

Правильный ответ: 18√2

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.