Загрузка заданий...
Вариант 500 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 08.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 215/50 R16.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
1
Задание 1
1 балл
Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 17 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Разбор: Шины →
Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 205.
2
Задание 2
1 балл
Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 205/50 R18?
Решение
Разбор: Шины →
В маркировке 205/50 R18 ширина шины равна 205 мм, а высота боковины составляет 50% от ширины. H = 205 · 50 / 100 = 102.5 мм. Ответ: 102.5.
3
Задание 3
1 балл
На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 225/45 R17?
Решение
Разбор: Шины →
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 215/50 R16 и нового колеса 225/45 R17. Ответ: 12.9.
4
Задание 4
1 балл
Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Разбор: Шины →
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 215/50 R16 получаем диаметр 621.4 мм. Ответ: 621.4.
5
Задание 5
1 балл
На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 225/50 R16? Результат округлите до десятых.
Решение
Разбор: Шины →
Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 215/50 R16 и колеса 225/50 R16, затем находим процентное изменение. Ответ: 1.6.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$2,5 + 0,007$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с десятичными дробями →
Вычислим значение выражения: \(2,5 + 0,007\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((2,5) + 0,007 = 2,507\).
Ответ: \(2,507\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какой точке на координатной прямой соответствует число \(\frac{6}{5}\)?
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Числовые неравенства, координатная прямая. Числа на прямой →
Сравним положение точек на координатной прямой и значение данного числа.
Число \(\frac{6}{5}\) по своему значению совпадает с точкой B.
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$4^{-2} \cdot (4^2)^3$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: 4^(-2) · (4^2)^3.
Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (4^2)^3 = 4^6.
Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 4^-2 · 4^6 = 4^4.
Получаем 4^4 = 256.
Ответ: 256.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -2x + 6y = 26 \\ -5x + 6y = 38 \end{cases}$$
Решение
Разбор: Система уравнений →
Решим систему:
-2x + 6y = 26
-5x + 6y = 38
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -5, а второе — на -2.
Получим:
\((-2x + 6y = 26) \cdot -5\): 10x - 30y = -130
\((-5x + 6y = 38) \cdot -2\): 10x - 12y = -76
Вычтем второе уравнение из первого:
-18y = -54
y = -54 / -18 = 3
Подставим y = 3 в первое уравнение:
-2x + 6y = 26
Получаем x = -4.
Ответ: (-4;3)
10
Статистика, вероятности
1 балл
На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события \(B\).
Решение
Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →
Читаем дерево слева направо.
Из точки S выходят две ветки — это событие A и противоположное ему. На них написано 0.625 и 0.375: вероятности того, что опыт пойдёт по верхнему или по нижнему пути.
От каждой из них идут ещё две ветки — к B и к «не B». Число на ветке — вероятность B при условии, что до неё дошли: по верхнему пути 0.875, по нижнему 0.125.
Событие B наступает двумя способами, поэтому проходим оба пути и складываем. Вероятность пути — произведение чисел на его ветках.
Верхний путь: 0.625 · 0.875 = 0.546875.
Нижний путь: 0.375 · 0.125 = 0.046875.
Складываем: 0.546875 + 0.046875 = 0.59375.
Ответ: 0,59375
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.
Коэффициенты
А) a > 0, c > 0
Б) a < 0, c > 0
В) a > 0, c < 0
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Квадратичная функция. Графики →
Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 231.
12
Расчёты по формулам
1 балл
Сила Архимеда, выталкивающая на поверхность погружённое в воду тело, вычисляется по формуле F = ρgV, где ρ = 1000 кг/м3 – плотность воды, g = 9,8 м/с2 – ускорение свободного падения, а V – объём тела в кубических метрах. Сила F измеряется в ньютонах. Найдите силу Архимеда, действующую на погружённое в воду тело объёмом 0,05 куб. м. Ответ дайте в ньютонах.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Подставим V = 0,05 в формулу F = ρgV.
F = 1000·9,8·0,05 = 490.
Ответ: 490.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
-5x + 12 > -x + 12
Решение
Разбор: Линейные неравенства — выбор промежутка →
Решим неравенство: -5x + 12 > -x + 12.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -4x < 0.
Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.
Делим обе части на -4: x < 0.
Значит, x меньше 0.
Этому соответствует промежуток (-∞;0).
Правильный ответ: 4.
Ответ: 4
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 9 мг. За каждые 30 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 120 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →
Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 9, q = 3.
За 120 минут пройдёт 4 промежутков по 30 минут.
Получаем массу 9·3^4 = 729 мг.
Ответ: 729.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC проведена медиана BM. Найдите градусную меру угла A, если ∠C = 51° и BM = AM = MC.
Решение
Разбор: Треугольник — углы →
Из условия BM = AM = MC.
Тогда треугольник BMC равнобедренный, так как BM = MC.
Поэтому ∠MBC = ∠BCM = 51°.
Следовательно, ∠BMC = 180° - 2·51° = 78°.
Точки A, M, C лежат на одной прямой, поэтому ∠AMB = 180° - 78° = 102°.
В треугольнике ABM стороны AM и BM равны, значит углы при основании равны.
Пусть ∠A = x. Тогда 2x + 102° = 180°.
Отсюда x = 90° - 51° = 39°.
Ответ: 39.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 138°, угол CAD равен 70°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Окружность — центральные и вписанные углы →
Углы CAD и CBD опираются на одну и ту же дугу CD, значит ∠CBD = ∠CAD.
Следовательно, ∠CBD = 70°.
Луч BD делит угол ABC на углы ABD и DBC.
Поэтому ∠ABD = ∠ABC - ∠CBD = 138° - 70° = 68°.
Ответ: 68.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Острый угол равен 78°. Сколько градусов составляет угол между стороной и меньшей диагональю ромба?
Решение
Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →
Меньшая диагональ ромба биссектрисой его тупых углов.
Тупой угол ромба равен 180° - 78° = 102°.
Угол между стороной и меньшей диагональю равен половине тупого угла: 102° / 2 = 51°.
Ответ: 51.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — отрезки и окружности →
Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.
По клеткам радиусы кругов равны 6 и 2.
Искомое отношение площадей равно (6 / 2)² = 9.
Ответ: 9.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите неравенство: \(\frac{-10}{(x-3)^2-5}\ge 0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: числитель \(-10<0\), поэтому дробь \(\ge0\) только когда знаменатель отрицателен.
(При нулевом знаменателе дробь не определена — такие точки исключаются.)
Шаг 1. Ставим условие на знаменатель: \((x-3)^2-5<0\).
Шаг 2. Переносим: \((x-3)^2<5\).
Шаг 3. Извлекаем корень: \(-\sqrt{5}<x-3<\sqrt{5}\).
Шаг 4. Прибавляем 3 ко всем частям: \(3-\sqrt{5}<x<3+\sqrt{5}\).
Ответ: \((3-\sqrt{5};\; 3+\sqrt{5})\).
Правильный ответ: [3-√5;3+√5]
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Два автомобиля одновременно отправляются в 240-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 20 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 1 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить уравнение на время движения, используя формулу t = S/v.
Шаг 1. Пусть скорость второго автомобиля равна x км/ч, тогда скорость первого — (x + 20) км/ч.
Шаг 2. Первый прибывает на 1 ч раньше, значит его время меньше:
240/x − 240/(x+20) = 1.
Шаг 3. Умножаем обе части на x·(x+20):
240·(x+20) − 240·x = 1·x·(x+20).
Шаг 4. Левая часть упрощается до 240·20 = 4800. Получаем:
1x² + 20x − 4800 = 0.
Шаг 5. Дискриминант: D = 20² + 4·1·4800 = 19600, √D = 140.
x = (−20 + 140) / (2·1) = 60 (берём положительный корень).
Шаг 6. Скорость первого: 60 + 20 = 80 км/ч.
Ответ: 80.
Правильный ответ: 80
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{9x+1}{9x^2+1x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Вынесем x в знаменателе и сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.
Получаем график функции \( y=\frac1x \), но с выколотой точкой при \( x=-1/9 \).
Пересечение с прямой \( y=kx \) задаётся уравнением \( \frac1x = kx \), то есть \( x^2=\frac1k \).
Обычно при \( k>0 \) получаются две точки пересечения. Ровно одна общая точка будет тогда, когда одна из них совпадёт с выколотой точкой.
Это происходит при \( x=-1/9 \), откуда \( k=81 \).
Ответ: 81.
Правильный ответ: 81
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 10, а одна из диагоналей ромба равна 40. Найдите углы ромба.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: центр ромба — центр вписанной окружности, расстояние до стороны = радиус r.
Шаг 1. Обозначим сторону ромба a, острый угол α.
Радиус вписанной окружности r = a·sin α, а половина диагонали d₁/2 = a·cos(α/2) = a·sin(90°−α/2).
Шаг 2. По условию r = 10, диагональ = 40 = 4r.
Значит диагональ = 4·10, то есть a·2·cos(α/2) = 4·a·sin α/2.
Упрощая: cos(α/2) = 2·sin(α/2)·cos(α/2) ⟹ 1 = 2·sin(α/2), sin(α/2) = \(\frac{1}{2}\), α/2 = 30°, α = 60°.
Шаг 3. Острый угол = 60°, тупой угол = 120°.
Ответ: 60°, 60°, 120°, 120°.
Правильный ответ: 60°, 60°, 120°, 120°
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
Биссектрисы углов B и C четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O, лежащей на стороне AD. Докажите, что точка O равноудалена от прямых AB, BC и CD.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон этого угла.
Шаг 1. Точка O лежит на биссектрисе угла B.
⟹ расстояние от O до обеих сторон угла B одинаково.
Шаг 2. Точка O лежит на биссектрисе угла C.
⟹ расстояние от O до обеих сторон угла C одинаково.
Шаг 3. Объединяя: расстояние от O до каждой из прямых AB, BC и CD одинаково. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 80, а площадь равна 320, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: использовать свойства касательной трапеции и подобие треугольников, образованных диагоналями.
Шаг 1. Вписанная окружность в трапецию: a + b = 2l (сумма оснований = сумма боковых сторон).
P = 2(a+b) = 80 ⟹ a+b = 40.
Шаг 2. Высота: S = (a+b)·h/2 ⟹ h = 2S/(a+b) = 2·320/40 = 16.
Шаг 3. Находим основания. Для равнобедренной касательной трапеции:
Из системы a+b=40 и пифагорова прямоугольного треугольника с высотой h=16:
a = 8, b = 32.
Шаг 4. Диагонали трапеции пересекаются в точке O, делящей высоту в отношении a:b.
Расстояние от O до меньшего основания = h·a/(a+b) = 16·\(\frac{8}{40}\) = 3,2.
Ответ: 3,2.
Правильный ответ: 3,2
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.