Загрузка заданий...

Вариант 530 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 08.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.

Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 225/55 R16.

Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.

1 Задание 1 1 балл

Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 18 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Разбор: Шины →

Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 235.

2 Задание 2 1 балл

Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 225/60 R17?

Решение

Разбор: Шины →

В маркировке 225/60 R17 ширина шины равна 225 мм, а высота боковины составляет 60% от ширины. H = 225 · 60 / 100 = 135 мм. Ответ: 135.

3 Задание 3 1 балл

На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 235/45 R18?

Решение

Разбор: Шины →

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 225/55 R16 и нового колеса 235/45 R18. Ответ: 14.8.

4 Задание 4 1 балл

Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Разбор: Шины →

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 225/55 R16 получаем диаметр 653.9 мм. Ответ: 653.9.

5 Задание 5 1 балл

На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 235/55 R16? Результат округлите до десятых.

Решение

Разбор: Шины →

Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 225/55 R16 и колеса 235/55 R16, затем находим процентное изменение. Ответ: 1.7.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{1}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с обыкновенными дробями →

Вычислим значение выражения: $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{1}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{3}{2}) \cdot \frac{1}{1} = \frac{3}{2}$.

Получили дробь $\frac{3}{2}$.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $1,5$.

Ответ: $1,5$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из данных чисел принадлежит промежутку от 0,28 до 2,72?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{71}{25}$

$\frac{3}{5}$

-5

-4,68

Решение

Разбор: Сравнение чисел: корни, десятичные и обыкновенные дроби →

Сравним числа 0,28 и 2,72. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 2 ($\frac{3}{5}$) лежит между этими числами.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$10^{-2} \cdot (10^2)^2$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: 10^(-2) · (10^2)^2.

Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (10^2)^2 = 10^4.

Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 10^-2 · 10^4 = 10^2.

Получаем 10^2 = 100.

Ответ: 100.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} 7x + 7y = 56 \\ 5x - 8y = 40 \end{cases}$$

Решение

Разбор: Система уравнений →

Решим систему:

7x + 7y = 56

5x - 8y = 40

Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 5, а второе — на 7.

Получим:

$(7x + 7y = 56) \cdot 5$: 35x + 35y = 280

$(5x - 8y = 40) \cdot 7$: 35x - 56y = 280

Вычтем второе уравнение из первого:

91y = 0

y = 0 / 91 = 0

Подставим y = 0 в первое уравнение:

7x + 7y = 56

Получаем x = 8.

Ответ: (8;0)

10 Статистика, вероятности 1 балл

У бабушки 40 чашек: 20 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →

Всего равновозможных исходов: 40.

Благоприятных исходов: 20 (чашка с синими цветами).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{20}{40}$ = 0,5.

Ответ: 0,5.

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ

ФОРМУЛЫ

А) $y = \dfrac{2}{3}x - 5$

Б) $y = -3x^2 + 9x - 4$

В) $y = -\dfrac{6}{x}$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Графики разных функций →

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 132.

Ответ: 132

12 Расчёты по формулам 1 балл

Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой t_F = 1,8t_C + 32, где t_C – температура в градусах Цельсия, t_F – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует 100 градусов по шкале Цельсия?

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Подставим t_C = 100 в формулу t_F = 1,8t_C + 32.

t_F = 1,8·(100) + 32 = 212.

Ответ: 212.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

3x - x² < 0

Решение

Разбор: Квадратные неравенства →

Разложим: 3x - x² = x(3 - x). Нули: 0 и 3. Верное решение: (-∞;0) ∪ (3;+∞). Это вариант 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 630 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 10 см?

Решение

Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →

Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 630, q = $\frac{1}{3}$.

Проверяем последовательно: после 4-го отскока высота ещё не меньше 10 см, а после 5-го уже меньше.

Ответ: 5.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Сторона равностороннего треугольника равна 10√3. Найдите биссектрису этого треугольника.

Решение

Разбор: Треугольник — элементы →

В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.

Высота равностороннего треугольника равна a·√3 / 2.

Получаем: 10√3 · √3 / 2 = 10·3 / 2 = 15.

Ответ: 15.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Сторона равностороннего треугольника равна 6√3. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Решение

Разбор: Окружность — вписанные окружности →

Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника равен a√3 / 6.

r = (6√3 · √3) / 6 = $\frac{18}{6}$ = 3.

Ответ: 3.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагонали AC и BD прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, BO = 24, AB = 16. Найдите AC.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.

Значит, BD = 2·BO = 2·24 = 48.

Так как AC = BD, получаем:

AC = 48.

Ответ: 48.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — отрезки и окружности →

Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.

По клеткам радиусы кругов равны 6 и 2.

Искомое отношение площадей равно (6 / 2)² = 9.

Ответ: 9.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Все квадраты имеют равные площади.

Основания равнобедренной трапеции равны.

Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Неверно.

2) Неверно.

3) Верно.

Ответ: 3.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}-6=0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: замена $t=\frac{1}{x}$.

Шаг 1. После замены уравнение принимает вид:

$t^2-t-6=0$.

Шаг 2. Разложим на множители: $(t-3)(t+2)=0$.

Корни: $t_1=3$, $t_2=-2$.

Шаг 3. Обратная замена:

Если $t=3$: $x=\dfrac{1}{3}$.

Если $t=-2$: $x=-\dfrac{1}{2}$.

Шаг 4. ОДЗ: $x\ne0$ — оба корня подходят.

Ответ: $-\dfrac{1}{2};\quad \dfrac{1}{3}$.

Правильный ответ: -1/2;1/3

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первая труба пропускает на 13 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 208 литров она заполняет на 8 минут быстрее, чем первая труба?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время заполнения резервуара, используя формулу t = V/q.

Шаг 1. Пусть вторая труба пропускает x л/мин, тогда первая — (x − 13) л/мин.

Шаг 2. Время заполнения: первой — 208/(x−13) мин, второй — 208/x мин.

Шаг 3. Первая заполняет на 8 мин дольше:

208/(x−13) − 208/x = 8.

Шаг 4. Умножаем на x(x−13):

208·x − 208·(x−13) = 8·x·(x−13).

2704 = 8·x² − 104·x.

8x² − 104x − 2704 = 0.

Шаг 5. Дискриминант: D = 104² + 4·8·2704 = 10816 + 86528 = 97344, √D = 312.

x = (104 + 312) / (2·8) = 26 (отрицательный корень не подходит по смыслу).

Шаг 6. Проверка: первая труба — 208/13 = 16 мин, вторая — 208/26 = 8 мин.

16 − 8 = 8 = 8. ✓

Ответ: 26.

Правильный ответ: 26

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}x-2{,}5,& x<2,\\-x+1{,}5,& 2\le x\le 3,\\x-5,& x>3.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: (-2;-1,5)∪{-0,5}.

Ответ: (-2;-1,5)∪{-0,5}.

Правильный ответ: (-2;-1,5)∪{-0,5}

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 84 и 116. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: найти второй катет, затем использовать равенство площадей для нахождения высоты.

Шаг 1. Второй катет: √(116² − 84²) = √6400 = 80.

Шаг 2. Площадь треугольника через два катета: S = 84·$\frac{80}{2}$ = 3360.

Шаг 3. Площадь через гипотенузу 116 и высоту h к ней: S = 116·h/2.

Шаг 4. Из равенства площадей: h = 84·80/116 = 1680/29.

Ответ: 1680/29.

Правильный ответ: 1680/29

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что ∠BB₁C₁ = ∠BCC₁.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: показать, что точки B, C, B₁, C₁ лежат на одной окружности.

Шаг 1. BB₁ — высота, поэтому ∠BB₁C = 90°. Значит из точки B₁ отрезок BC виден под прямым углом, и B₁ лежит на окружности с диаметром BC.

Шаг 2. CC₁ — высота, поэтому ∠BC₁C = 90°. Значит и точка C₁ лежит на окружности с диаметром BC.

Шаг 3. Итак, точки B, C, B₁, C₁ лежат на одной окружности.

Шаг 4. Вписанные углы ∠BB₁C₁ и ∠BCC₁ опираются на одну и ту же дугу BC₁, поэтому равны. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 6, BC = 5.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: степень точки B относительно окружности связывает касательную и хорду.

Шаг 1. AB ⊥ BC (прямоугольная трапеция), окружность касается AB в точке E.

BE — касательная: BE² = степень точки B.

Шаг 2. Прямая через B пересекает окружность в C и D (хорда CD).

Степень точки B: BE² = BC · BD.

Шаг 3. BD = BC + CD_проекция. По свойству трапеции BD = AD = 6 (вертикальная хорда).

BE² = BC · BD = 5 · 6 = 30.

BE = √30 = √30.

Шаг 4. E лежит на AB, BE ⊥ CD (по симметрии окружности), поэтому dist(E, CD) = BE = √30.

Ответ: √30.

Правильный ответ: √30

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.