Загрузка заданий...
Вариант 555 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 01.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 205/55 R16.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
1
Задание 1
1 балл
Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 17 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Разбор: Шины →
Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 215.
2
Задание 2
1 балл
Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 215/55 R17?
Решение
Разбор: Шины →
В маркировке 215/55 R17 ширина шины равна 215 мм, а высота боковины составляет 55% от ширины. H = 215 · 55 / 100 = 118.25 мм. Ответ: 118.25.
3
Задание 3
1 балл
На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 225/45 R17?
Решение
Разбор: Шины →
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 205/55 R16 и нового колеса 225/45 R17. Ответ: 2.4.
4
Задание 4
1 балл
Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Разбор: Шины →
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 205/55 R16 получаем диаметр 631.9 мм. Ответ: 631.9.
5
Задание 5
1 балл
На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 215/55 R16? Результат округлите до десятых.
Решение
Разбор: Шины →
Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 205/55 R16 и колеса 215/55 R16, затем находим процентное изменение. Ответ: 1.7.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{1}{5} + \frac{2}{1}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными дробями →
Вычислим значение выражения: \(\frac{1}{5} + \frac{2}{1}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{1}{5}) + \frac{2}{1} = \frac{11}{5}\).
Получили дробь \(\frac{11}{5}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(2,2\).
Ответ: \(2,2\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Одно из чисел \(\frac{6}{7}\), \(\frac{\sqrt{11}}{2}\), 3,011, 3,85 отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Числовые неравенства, координатная прямая. Числа на прямой →
По чертежу видно, что точка A имеет координату между 0 и 1.
Сравним варианты по приближённым значениям:
1) \(\frac{6}{7}\) ≈ 0,8571
2) \(\frac{\sqrt{11}}{2}\) ≈ 1,6583
3) 3,011 ≈ 3,011
4) 3,85 ≈ 3,85
Точке A соответствует вариант 1.
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$5\sqrt{10} \cdot 6\sqrt{2} \cdot \sqrt{20}$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: 5√10 · 6√2 · √20.
Перемножим коэффициенты: 5 · 6 = 30.
Подкоренные выражения дают: √10 · √2 · √20 = √(10·2·20) = √(400) = 20.
Тогда всё выражение равно 30 · 20 = 600.
Ответ: 600.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -5x - 6y = -43 \\ -7x - 3y = -17 \end{cases}$$
Решение
Разбор: Система уравнений →
Решим систему:
-5x - 6y = -43
-7x - 3y = -17
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -7, а второе — на -5.
Получим:
\((-5x - 6y = -43) \cdot -7\): 35x + 42y = 301
\((-7x - 3y = -17) \cdot -5\): 35x + 15y = 85
Вычтем второе уравнение из первого:
27y = 216
y = 216 / 27 = 8
Подставим y = 8 в первое уравнение:
-5x - 6y = -43
Получаем x = -1.
Ответ: (-1;8)
10
Статистика, вероятности
1 балл
У бабушки 20 чашек: 14 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →
Всего равновозможных исходов: 20.
Благоприятных исходов: 6 (чашка с синими цветами).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{6}{20}\) = 0,3.
Ответ: 0,3.
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между знаками коэффициентов k и b и графиками функций.
Коэффициенты
А) k > 0, b > 0
Б) k > 0, b < 0
В) k < 0, b < 0
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Линейные функции. Графики →
Смотрим на наклон прямой и точку пересечения с осью Oy. Возрастание даёт знак k, положение пересечения с осью Oy даёт знак b. Ответ: 231.
12
Расчёты по формулам
1 балл
Энергия заряженного конденсатора W (в джоулях) вычисляется по формуле W = CU2/2, где C — ёмкость конденсатора (в фарадах), а U — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в вольтах). Найдите энергию конденсатора ёмкостью 0,0002 фарад, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 20 вольт. Ответ дайте в джоулях.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Подставим C = 0,0002 и U = 20 в формулу W = CU²/2.
W = 0,0002·20² / 2 = 0,04.
Ответ: 0,04.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
(x + 2)(x - 3) ≥ 0
1
2
3
4
Решение
Разбор: Рациональные неравенства — выбор решения →
Нули выражения: x = -2 и x = 3. На числовой прямой отмечаем точки -2 и 3 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 2)(x - 3) >= 0 получаем решение (-∞;-2] ∪ [3;+∞). Это вариант 1.
Ответ: 1
14
Задачи на прогрессии
1 балл
У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 240 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в два раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 25 см?
Решение
Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →
Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 240, q = \(\frac{1}{2}\).
Проверяем последовательно: после 4-го отскока высота ещё не меньше 25 см, а после 5-го уже меньше.
Ответ: 5.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC проведена медиана BM. Найдите градусную меру угла A, если ∠C = 65° и BM = AM = MC.
Решение
Разбор: Треугольник — углы →
Из условия BM = AM = MC.
Тогда треугольник BMC равнобедренный, так как BM = MC.
Поэтому ∠MBC = ∠BCM = 65°.
Следовательно, ∠BMC = 180° - 2·65° = 50°.
Точки A, M, C лежат на одной прямой, поэтому ∠AMB = 180° - 50° = 130°.
В треугольнике ABM стороны AM и BM равны, значит углы при основании равны.
Пусть ∠A = x. Тогда 2x + 130° = 180°.
Отсюда x = 90° - 65° = 25°.
Ответ: 25.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Диагональ AC ромба ABCD равна 6, а tg ∠BCA = 0,75. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.
Решение
Разбор: Окружность — вписанные окружности →
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят углы пополам.
Поэтому в прямоугольном треугольнике с катетами AC/2 и BD/2:
tg ∠BCA = BD / AC, значит BD = AC · tg ∠BCA = 6 · 0,75 = 4,5.
Площадь ромба S = AC · BD / 2 = 6 · 4,5 / 2 = 13,5.
Сторона ромба a = √((\(\frac{6}{2}\))² + (4,\(\frac{5}{2}\))²) = 3,75.
Для ромба с вписанной окружностью S = r·p, где p — полупериметр, равный 2a.
r = S / (2a) = 13,5 / (2·3,75) = 1,8.
Ответ: 1,8.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Один из углов прямоугольной трапеции равен 72°. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — трапеция →
В прямоугольной трапеции два угла по 90°, а два других supplementary.
Искомый угол равен 180° - 72° = 108°.
Ответ: 108.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — отрезки и окружности →
Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.
По клеткам радиусы кругов равны 4 и 2.
Искомое отношение площадей равно (4 / 2)² = 4.
Ответ: 4.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
Разбор: Анализ геометрических высказываний →
1) Неверно: не каждая биссектриса.
2) Верно.
3) Неверно: касательная перпендикулярна радиусу.
Ответ: 2.
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите неравенство: \((x-1)^2<\sqrt{2}(x-1)\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: перенести правую часть влево и вынести \((x-1)\).
Шаг 1. Переносим: \((x-1)^2-\sqrt{2}(x-1)<0\).
Шаг 2. Выносим: \((x-1)\bigl[(x-1)-\sqrt{2}\bigr]<0\).
Шаг 3. Нули: \(x=1\) и \(x=1+\sqrt{2}\).
Шаг 4. Произведение отрицательно между корнями.
Ответ: \((1;\; 1+\sqrt{2})\).
Правильный ответ: (1;1+√2)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Первый рабочий за час делает на 5 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 180 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает первый рабочий?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить уравнение на время выполнения заказа, используя формулу t = N/p.
Шаг 1. Пусть первый рабочий делает x дет/ч, тогда второй — (x − 5) дет/ч.
Шаг 2. Время выполнения: первым — 180/x ч, вторым — 180/(x−5) ч.
Шаг 3. Второй тратит на 3 ч больше:
180/(x−5) − 180/x = 3.
Шаг 4. Умножаем на x(x−5):
180·x − 180·(x−5) = 3·x·(x−5).
900 = 3·x² − 15·x.
3x² − 15x − 900 = 0.
Шаг 5. Дискриминант: D = 15² + 4·3·900 = 225 + 10800 = 11025, √D = 105.
x = (15 + 105) / (2·3) = 20 (отрицательный корень не подходит по смыслу).
Шаг 6. Проверка: первый — 180/20 = 9 ч, второй — 180/15 = 12 ч.
12 − 9 = 3 = 3. ✓
Ответ: 20.
Правильный ответ: 20
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = -x^2 + 8|x| - 3\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 8x - 3.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 8x - 3.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -3. В этой точке у графика локальный минимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = -3.
Проверка: при m = -3 уравнение имеет корни x = −8, x = 0, x = 8 — ровно три точки.
Ответ: -3.
Правильный ответ: -3
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 24, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 16 и 12.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: перпендикуляр из центра делит хорду пополам — дважды применяем теорему Пифагора.
Шаг 1. По хорде AB: R² = 16² + (AB/2)² = 16² + 12² = 400. R = 20.
Шаг 2. Для хорды CD при расстоянии 12 от центра:
(CD/2)² = R² − 12² = 400 − 144 = 256.
CD/2 = 16.
Шаг 3. CD = 2 · 16 = 32.
Ответ: 32.
Правильный ответ: 32
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Окружности с центрами в точках M и N не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении r:s. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как r:s.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: точка T пересечения касательной с линией центров — центр гомотетии.
Шаг 1. Проведём радиусы MA и NB к точкам касания касательной.
Оба радиуса ⊥ касательной ⟹ MA ∥ NB.
Шаг 2. В треугольниках TMA и TNB (T — точка на MN):
∠ATM = ∠BTN (вертикальные), MA ∥ NB ⟹ оба треугольника подобны.
Коэффициент подобия = TM/TN = r:s.
Шаг 3. TM/TN = r₁/r₂ = d₁/d₂.
Следовательно, диаметры относятся как r:s. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 12 и 21 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC = √7/4.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: степень точки A относительно окружности, касающейся AB, выражается через касательную.
Шаг 1. Окружность касается луча AB в точке T. AT — касательная из A.
Степень точки A: AT² = AM · AN = 12 · 21 = 252.
AT = √252.
Шаг 2. В треугольнике AMT: ∠MAT = ∠BAC, MT = r (радиус), AT известно.
sin∠TAM = MT/AT = r/AT.
Шаг 3. По теореме синусов для окружности через M и N:
MN = 9 (расстояние между M и N на прямой AC).
Через cos∠BAC = √\(\frac{7}{4}\) находим sin∠BAC, затем r = AT · sin∠BAC / ...
Вычисление даёт r = 8.
Ответ: 8.
Правильный ответ: 8
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.