Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 01.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 265/70 R17.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
1Задание 11 балл
Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 20 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 265/70 R17 и нового колеса 275/55 R20. Ответ: 7.7.
4Задание 41 балл
Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 265/70 R17 получаем диаметр 802.8 мм. Ответ: 802.8.
5Задание 51 балл
На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 275/70 R17? Результат округлите до десятых.
Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 265/70 R17 и колеса 275/70 R17, затем находим процентное изменение. Ответ: 1.7.
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{7}{2} \cdot 8$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -7, а второе — на 7.
Получим:
\((7x - y = -31) \cdot -7\): -49x + 7y = 217
\((-7x + 6y = 11) \cdot 7\): -49x + 42y = 77
Вычтем второе уравнение из первого:
-35y = 140
y = 140 / -35 = -4
Подставим y = -4 в первое уравнение:
7x - y = -31
Получаем x = -5.
Ответ: (-5;-4)
10Статистика, вероятности1 балл
У бабушки 25 чашек: 17 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.
Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 123.
12Расчёты по формулам1 балл
Если тело массой m кг подвешено на высоте h м над горизонтальной поверхностью земли, то его потенциальная энергия в джоулях вычисляется по формуле P = mgh, где g = 9,8 м/с2 – ускорение свободного падения. Найдите массу тела, подвешенного на высоте 40 м над поверхностью земли, если его потенциальная энергия равна 1 960 джоулям. Ответ дайте в килограммах.
Из неравенства x² <= 36 получаем границы x = ±6. Верное решение: [-6;6]. Это вариант 1.
Ответ: 1
14Задачи на прогрессии1 балл
Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 16 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 5 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл до полной остановки?
2) Неверно: медиана вообще не обязана быть биссектрисой.
3) Верно.
Ответ: 13.
20Уравнения, неравенства и их системы2 балла
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}4x^2+y=9,\\8x^2-y=3.\end{cases}\)
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: складываем уравнения.
Шаг 1. Складываем:
\((4x^2+y)+(8x^2-y)=9+3\Rightarrow 12x^2=12\).
Шаг 2. \(x^2=1\Rightarrow x=\pm1\).
Шаг 3. Находим \(y\):
\(y=9-4x^2=9-4=5\).
Ответ: \((-1;\,5);\ (1;\,5)\).
Правильный ответ: (-1;5);(1;5)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21Текстовые задачи2 балла
Проценты, смеси и сплавы
Имеются два сосуда, содержащие 22 кг и 18 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 32% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 30% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить систему уравнений на концентрации двух растворов.
Шаг 1. Пусть концентрация кислоты в 1-м сосуде — x, во 2-м — y.
Шаг 2. При полном смешивании 40 кг получается раствор с концентрацией 32%:
22·x + 18·y = 40·0,32 = 12,8 ...(1).
Шаг 3. При смешивании равных масс концентрация 30%:
(x + y)/2 = 0,30 ⟹ x + y = 0,60 ...(2).
Шаг 4. Из (2): y = 0,60 − x. Подставляем в (1):
22·x + 18·(0,60 − x) = 12,8
22x + 10,8 − 18x = 12,8
4x = 2 ⟹ x = 0,5.
Шаг 5. Масса кислоты в 1-м сосуде: 22·0,5 = 11 кг.
Ответ: 11.
Правильный ответ: 11
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = x^2 - 6|x| + 5\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 6x + 5.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 6x + 5.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 5. В этой точке у графика локальный максимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = 5.
Проверка: при m = 5 уравнение имеет корни x = −6, x = 0, x = 6 — ровно три точки.
Ответ: 5.
Правильный ответ: 5
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 45° и 120°, а CD = 48.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: высота трапеции, опущенная из одного основания, одинакова при выражении через любую боковую сторону.
Шаг 1. Опускаем высоту h из вершины A на прямую CD.
h = AB · sin(∠ABC) = AB · sin45°.
Шаг 2. Та же высота выражается через сторону CD:
h = CD · sin(∠BCD) = 48 · sin120°.
Шаг 3. Из равенства: AB · sin45° = 48 · sin120°.
AB = 48 · sin120°/sin45° (здесь sin120°/sin45° = √\(\frac{6}{2}\)).
AB = 24√6.
Ответ: 24√6.
Правильный ответ: 24√6
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24Геометрические задачи на доказательство2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Окружности с центрами в точках O₁ и O₂ не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении p:q. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как p:q.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: точка T пересечения касательной с линией центров — центр гомотетии.
Шаг 1. Проведём радиусы O₁A и O₂B к точкам касания касательной.
Оба радиуса ⊥ касательной ⟹ O₁A ∥ O₂B.
Шаг 2. В треугольниках TO₁A и TO₂B (T — точка на O₁O₂):
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 9 и 32 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC = 2√2/3.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: степень точки A относительно окружности, касающейся AB, выражается через касательную.
Шаг 1. Окружность касается луча AB в точке T. AT — касательная из A.
Степень точки A: AT² = AM · AN = 9 · 32 = 288.
AT = √288.
Шаг 2. В треугольнике AMT: ∠MAT = ∠BAC, MT = r (радиус), AT известно.
sin∠TAM = MT/AT = r/AT.
Шаг 3. По теореме синусов для окружности через M и N:
MN = 23 (расстояние между M и N на прямой AC).
Через cos∠BAC = 2√\(\frac{2}{3}\) находим sin∠BAC, затем r = AT · sin∠BAC / ...
Пока ты решал, задания в этом варианте изменились, и проверить
твои ответы точно уже нельзя. Ответы остались в полях —
обнови страницу, чтобы получить свежий вариант.
