Загрузка заданий...

Вариант 613 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 01.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.

Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A2, A3, A4 и A6.

В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A2, A3, A4, A6.

Номер листа	Длина (мм)	Ширина (мм)
1	594	420
2	420	297
3	148	105
4	297	210

Решение

Разбор: Листы бумаги →

A2 — 594 × 420 мм, это №1. A3 — 420 × 297 мм, это №2. A4 — 297 × 210 мм, это №4. A6 — 148 × 105 мм, это №3. Ответ: 1243.

2 Задание 2 1 балл

Сколько листов формата A5 получится из одного листа формата A3?

Решение

Разбор: Листы бумаги →

Из A3 получают два листа A4, а из каждого A4 — два листа A5. Значит всего 2 · 2 = 4 листа A5. Ответ: 4.

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь листа формата A5. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение

Разбор: Листы бумаги →

Площадь A0 равна 1 м². A5 получается после пяти делений пополам, значит площадь A5 равна $\frac{1}{32}$ м² = 10000 : 32 = 312,5 см². Ответ: 312,5.

4 Задание 4 1 балл

Найдите длину листа бумаги формата A6. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.

Решение

Разбор: Листы бумаги →

Формат A6 имеет размеры примерно 148 × 105 мм. Длина листа равна 148 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 150. Ответ: 150.

5 Задание 5 1 балл

Бумагу формата A1 упаковали в пачки по 80 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 120 г. Ответ дайте в граммах.

Решение

Разбор: Листы бумаги →

Площадь листа A1 равна половине площади A0: $\frac{1}{2}$ м². Масса одного листа: 120 · $\frac{1}{2}$ = 60 г. Масса 80 листов: 60 · 80 = 4800 г. Ответ: 4800.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{7}{4} - \frac{1}{5} - \frac{1}{2}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с обыкновенными дробями →

Вычислим значение выражения: $\frac{7}{4} - \frac{1}{5} - \frac{1}{2}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{7}{4}) - \frac{1}{5} = \frac{31}{20}$.

Шаг 2: $(\frac{31}{20}) - \frac{1}{2} = \frac{21}{20}$.

Получили дробь $\frac{21}{20}$.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $1,05$.

Ответ: $1,05$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{1}{a} < 0$

a - 4 < 0

a > 4

5 - a < 0

Решение

Разбор: Координатная прямая. Неравенства →

По чертежу видно, что 4 < a < 5.

Проверим варианты ответа:

1) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — неверно.

2) a - 4 < 0 ⇔ a < 4 — неверно.

3) a > 4 ⇔ a > 4 — верно.

4) 5 - a < 0 ⇔ a > 5 — неверно.

Правильный ответ: 3.

Ответ: 3

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$6\sqrt{10} \cdot 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{20}$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: 6√10 · 4√2 · √20.

Перемножим коэффициенты: 6 · 4 = 24.

Подкоренные выражения дают: √10 · √2 · √20 = √(10·2·20) = √(400) = 20.

Тогда всё выражение равно 24 · 20 = 480.

Ответ: 480.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -x - 6y = -1 \\ -8x + 4y = -60 \end{cases}$$

Решение

Разбор: Система уравнений →

Решим систему:

-x - 6y = -1

-8x + 4y = -60

Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -8, а второе — на -1.

Получим:

$(-x - 6y = -1) \cdot -8$: 8x + 48y = 8

$(-8x + 4y = -60) \cdot -1$: 8x - 4y = 60

Вычтем второе уравнение из первого:

52y = -52

y = -52 / 52 = -1

Подставим y = -1 в первое уравнение:

-x - 6y = -1

Получаем x = 7.

Ответ: (7;-1)

10 Статистика, вероятности 1 балл

На экзамене 50 билетов, Саша не выучил 2 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →

Всего равновозможных исходов: 50.

Благоприятных исходов: 48 (выученный билет).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{48}{50}$ = 0,96.

Ответ: 0,96.

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

Функции

А) $y = 2x - 2$

Б) $y = -3x - 4$

В) $y = -\dfrac{1}{2}x + 3$

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Линейные функции. Графики →

Сопоставляем наклон и точку пересечения с осью Oy для каждой формулы. Ответ: 321.

12 Расчёты по формулам 1 балл

Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с²) можно вычислить по формуле a = ω²R, где ω – угловая скорость (в с^-1), а R – радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус R, если угловая скорость равна 5,5 с^-1, а центростремительное ускорение равно 16,335 м/с². Ответ дайте в метрах.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Из формулы a = ω²R выразим радиус: R = a/ω².

R = 16,335/(5,5²) = 0,54.

Ответ: 0,54.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

x² ≤ 49

Решение

Разбор: Квадратные неравенства →

Из неравенства x² <= 49 получаем границы x = ±7. Верное решение: [-7;7]. Это вариант 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 8 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 200 мг. Найдите массу изотопа через 56 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение

Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →

Масса образует геометрическую прогрессию с первым членом 200 и знаменателем $\frac{1}{2}$.

За 56 минут пройдёт 7 промежутков по 8 минут.

Тогда масса станет равна 200·($\frac{1}{2}$)^7 = 1,5625 мг.

Ответ: 1,5625.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC проведена медиана BM. Найдите градусную меру угла A, если ∠C = 65° и BM = AM = MC.

Решение

Разбор: Треугольник — углы →

Из условия BM = AM = MC.

Тогда треугольник BMC равнобедренный, так как BM = MC.

Поэтому ∠MBC = ∠BCM = 65°.

Следовательно, ∠BMC = 180° - 2·65° = 50°.

Точки A, M, C лежат на одной прямой, поэтому ∠AMB = 180° - 50° = 130°.

В треугольнике ABM стороны AM и BM равны, значит углы при основании равны.

Пусть ∠A = x. Тогда 2x + 130° = 180°.

Отсюда x = 90° - 65° = 25°.

Ответ: 25.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 92°, угол CAD равен 80°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение

Разбор: Окружность — центральные и вписанные углы →

Углы CAD и CBD опираются на одну и ту же дугу CD, значит ∠CBD = ∠CAD.

Следовательно, ∠CBD = 80°.

Луч BD делит угол ABC на углы ABD и DBC.

Поэтому ∠ABD = ∠ABC - ∠CBD = 92° - 80° = 12°.

Ответ: 12.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Сторона ромба равна 28, а один из углов этого ромба равен 150°. Найдите высоту этого ромба.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →

Высота ромба равна произведению стороны на синус угла.

sin 150° = $\frac{1}{2}$.

h = 28 · $\frac{1}{2}$ = 14.

Ответ: 14.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →

Диагонали ромба на рисунке идут по горизонтали и вертикали.

По клеткам их длины равны 10 и 6.

Большая диагональ равна 10.

Ответ: 10.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Все квадраты имеют равные площади.

Основания равнобедренной трапеции равны.

Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Неверно.

2) Неверно.

3) Верно.

Ответ: 3.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $13a-31b+41$, если $\dfrac{7a-4b+8}{4a-7b+8}=5$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $13a-31b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $7a-4b+8 = 5(4a-7b+8)$.

Шаг 2. Раскрываем: $7a-4b+8 = 20a-35b+40$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = 13a-31b+32$, откуда $13a-31b = -32$.

Шаг 4. Вычисляем: $13a-31b+41 = -32+41 = 9$.

Ответ: 9.

Правильный ответ: 9

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Проценты и сухое вещество

Свежие фрукты содержат 86% воды, а высушенные — 24%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 42 кг высушенных фруктов?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.

Шаг 1. Высушенные фрукты содержат 24% воды, значит сухого вещества 76%.

Шаг 2. Масса сухого вещества в 42 кг сухих фруктов:

42 · 76/100 = 31,92 кг.

Шаг 3. Свежие фрукты содержат 86% воды, значит сухого вещества 14%.

Шаг 4. Пусть масса свежих фруктов = x кг. Тогда 0,14·x = 31,92.

x = 31,92 / 0,14 = 228 кг.

Ответ: 228.

Правильный ответ: 228

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = -x^2 + 6|x| + 8\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 6x + 8.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 6x + 8.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 8. В этой точке у графика локальный минимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = 8.

Проверка: при m = 8 уравнение имеет корни x = −6, x = 0, x = 6 — ровно три точки.

Ответ: 8.

Правильный ответ: 8

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB = 16, CD = 30, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 15.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: перпендикуляр из центра на хорду делит её пополам — применяем теорему Пифагора.

Шаг 1. Для хорды AB: перпендикуляр из центра = 15, полухорда = AB/2 = 8.

R² = 15² + 8² = 225 + 64 = 289. R = 17.

Шаг 2. Для хорды CD: полухорда = CD/2 = 15.

d² = R² − 15² = 289 − 225 = 64. d = 8.

Ответ: 8.

Правильный ответ: 8

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках E и F пересекаются в точках C и D, причём точки E и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что прямые EF и CD перпендикулярны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: каждый центр лежит на серединном перпендикуляре к общей хорде.

Шаг 1. EC = ED (оба — радиусы первой окружности).

⟹ точка E равноудалена от C и D

⟹ E лежит на серединном перпендикуляре к отрезку CD.

Шаг 2. FC = FD (оба — радиусы второй окружности).

⟹ точка F тоже лежит на том же серединном перпендикуляре.

Шаг 3. Через два разных точки проходит единственная прямая.

Прямая EF совпадает с серединным перпендикуляром к CD.

Следовательно, EF ⟂ CD. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 40. Найдите стороны треугольника ABC.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса BE оказывается высотой во вспомогательном треугольнике ABD.

Шаг 1. Точка D лежит на BC, поэтому BE делит угол ABD пополам; по условию BE ⊥ AD.

Биссектриса треугольника ABD, перпендикулярная стороне AD, является в нём также высотой и медианой ⟹ △ABD равнобедренный: BA = BD.

Так как D — середина BC, то BD = BC/2, поэтому BC = 2·AB.

Шаг 2. Пусть O = AD ∩ BE. Возьмём O = (0, 0), ось x — вдоль AD: A = (−20, 0), D = (20, 0) (|AD| = 40).

В равнобедренном △ABD высота BO попадает в середину AD, поэтому B = (0, −h), где h = BO.

Шаг 3. D — середина BC ⟹ C = 2D − B = (40, h). На прямой BE точка E = (0, 40 − h), так как BE = 40.

Шаг 4. Условие «E лежит на AC» даёт h = 3·$\frac{40}{4}$ = 30.

Шаг 5. AB = √(h² + (20)²) = √(900 + 400) = 10√13;

BC = 2·AB = 20√13; CA = 30√5.

Ответ: 10√13; 20√13; 30√5.

Правильный ответ: 10√13; 20√13; 30√5

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.