Загрузка заданий...

Вариант 629 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 01.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.

Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A2, A3, A4 и A6.

В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A2, A3, A4, A6.

Номер листа	Длина (мм)	Ширина (мм)
1	594	420
2	420	297
3	148	105
4	297	210

Решение

Разбор: Листы бумаги →

A2 — 594 × 420 мм, это №1. A3 — 420 × 297 мм, это №2. A4 — 297 × 210 мм, это №4. A6 — 148 × 105 мм, это №3. Ответ: 1243.

2 Задание 2 1 балл

Сколько листов формата A5 получится из одного листа формата A3?

Решение

Разбор: Листы бумаги →

Из A3 получают два листа A4, а из каждого A4 — два листа A5. Значит всего 2 · 2 = 4 листа A5. Ответ: 4.

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь листа формата A5. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение

Разбор: Листы бумаги →

Площадь A0 равна 1 м². A5 получается после пяти делений пополам, значит площадь A5 равна $\frac{1}{32}$ м² = 10000 : 32 = 312,5 см². Ответ: 312,5.

4 Задание 4 1 балл

Найдите длину листа бумаги формата A6. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.

Решение

Разбор: Листы бумаги →

Формат A6 имеет размеры примерно 148 × 105 мм. Длина листа равна 148 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 150. Ответ: 150.

5 Задание 5 1 балл

Бумагу формата A1 упаковали в пачки по 80 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 120 г. Ответ дайте в граммах.

Решение

Разбор: Листы бумаги →

Площадь листа A1 равна половине площади A0: $\frac{1}{2}$ м². Масса одного листа: 120 · $\frac{1}{2}$ = 60 г. Масса 80 листов: 60 · 80 = 4800 г. Ответ: 4800.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,008 \cdot \frac{4}{1} + 0,15$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с обыкновенными и десятичными дробями →

Вычислим значение выражения: $0,008 \cdot \frac{4}{1} + 0,15$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,008) \cdot \frac{4}{1} = 0,032$.

Шаг 2: $(0,032) + 0,15 = 0,182$.

Получили результат $0,182$.

Ответ: $0,182$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какому из следующих чисел соответствует точка A на координатной прямой?

В ответе укажите номер правильного варианта.

-0,89

$\sqrt{13}$

$\sqrt{19}$

$\frac{9}{2}$

Решение

Разбор: Числовые неравенства, координатная прямая. Числа на прямой →

По чертежу видно, что точка A имеет координату между 4 и 5.

Сравним варианты по приближённым значениям:

1) -0,89 ≈ -0,89

2) $\sqrt{13}$ ≈ 3,6056

3) $\sqrt{19}$ ≈ 4,3589

4) $\frac{9}{2}$ ≈ 4,5

Точке A соответствует вариант 4.

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$4^{-2} \cdot (4^2)^3$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: 4^(-2) · (4^2)^3.

Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (4^2)^3 = 4^6.

Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 4^-2 · 4^6 = 4^4.

Получаем 4^4 = 256.

Ответ: 256.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{-4}{x + 6} = -2$$

Решение

Разбор: Рациональное уравнение →

Решим уравнение: -4/(x + 6) = -2

Область допустимых значений: x != -6.

Умножим обе части уравнения на x + 6:

-4 = -2(x + 6)

Раскроем скобки:

-4 = -2x - 12

Перенесём число в левую часть:

8 = -2x

x = 8 / -2

x = -4

Проверка ОДЗ: x = -4, x != -6, условие выполняется.

Ответ: -4

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. В каждой области указано, сколько исходов принадлежит этой области. Найдите вероятность события $A \cap \overline{B}$.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →

Всего исходов: 50. Вероятность события $A \cap \overline{B}$ равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

$P=18/50=0,36$.

Ответ: 0,36

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

Функции

А) $y = -3x$

Б) $y = x + 4$

В) $y = -\dfrac{1}{2}x + 2$

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Линейные функции. Графики →

Сопоставляем наклон и точку пересечения с осью Oy для каждой формулы. Ответ: 213.

12 Расчёты по формулам 1 балл

В фирме «Чистая вода» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле C = 6500 + 4000n, где n – число колец, установленных в колодце. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 13 колец.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Подставим n = 13 в формулу C = 6500 + 4000n.

C = 6500 + 4000·13 = 58500.

Ответ: 58 500.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.

x² - 49 > 0

x² - 49 < 0

x² - 49 ≥ 0

x² - 49 ≤ 0

Решение

Разбор: Квадратные неравенства →

Смотрим на отмеченные корни и закрашенные промежутки. Этому соответствует вариант 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 21 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 5 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл до полной остановки?

Решение

Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →

Путь по секундам образует арифметическую прогрессию: a₁ = 21, d = -5.

Последний положительный член прогрессии равен 1, значит секунд движения до полной остановки было 5.

Сумма пути: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 5·(21 + 1)/2 = 55.

Ответ: 55.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 75°. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.

Решение

Разбор: Треугольник — углы →

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.

Другой острый угол равен 90° - 75° = 15°.

Ответ: 15.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Сторона равностороннего треугольника равна 10√3. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Решение

Разбор: Окружность — вписанные окружности →

Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника равен a√3 / 6.

r = (10√3 · √3) / 6 = $\frac{30}{6}$ = 5.

Ответ: 5.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Основания трапеции равны 3 и 10, а высота равна 5. Найдите площадь этой трапеции.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — трапеция →

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

S = (3 + 10) / 2 · 5 = 32,5.

Ответ: 32,5.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Во сколько раз отрезок AM длиннее отрезка MC?

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — треугольники →

Точка M лежит на стороне треугольника. Определяем соотношение по клеткам.

M лежит на AC. По клеткам: AM=8, MC=2. AM=4·MC.

Ответ: 4.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Все углы ромба равны.

Если стороны одного четырёхугольника соответственно равны сторонам другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.

Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Неверно: все углы ромба равны только у квадрата.

2) Неверно: равенство соответствующих сторон четырёхугольников не гарантирует их равенство.

3) Верно: из точки вне окружности можно провести две касательные.

Ответ: 3.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $(x-4)^4-4(x-4)^2-21=0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: уравнение биквадратное по $(x-4)$. Делаем замену $t=(x-4)^2\ge0$.

Шаг 1. После замены $(x-4)^4=t^2$ и $(x-4)^2=t$. Уравнение:

$t^2-4t-21=0$.

Шаг 2. Дискриминант: $D=16+84=100$, $\sqrt{D}=10$.

$t_1=\dfrac{4+10}{2}=7,\quad t_2=\dfrac{4-10}{2}=-3$.

Шаг 3. Так как $t=(x-4)^2\ge0$, значение $t=-3$ не подходит. Берём $t=7$.

Шаг 4. Решаем $(x-4)^2=7$:

$x-4=\pm\sqrt{7}\Rightarrow x=4\pm\sqrt{7}$.

Ответ: $4-\sqrt{7};\quad 4+\sqrt{7}$.

Правильный ответ: 4-√7;4+√7

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 28 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 286 км, скорость первого велосипедиста равна 10 км/ч, скорость второго — 30 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: ввести переменную t — время от старта до встречи; первый велосипедист находился в движении меньше.

Шаг 1. Обозначим t (ч) — время от выезда до встречи.

Шаг 2. Первый сделал остановку 28 мин = $\frac{7}{15}$ ч, поэтому его время движения: t − $\frac{7}{15}$.

Шаг 3. Суммарный путь равен расстоянию между городами:

10·(t − $\frac{7}{15}$) + 30·t = 286.

Шаг 4. Раскрываем: (10 + 30)·t = 286 + 10·$\frac{7}{15}$ = 872/3.

t = 872/3 / 40 = 109/15 ч.

Шаг 5. Расстояние от города второго велосипедиста до места встречи:

30 · 109/15 = 218 км.

Ответ: 218.

Правильный ответ: 218

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{5x-8}{5x^2-8x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Вынесем x в знаменателе и сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.

Получаем график функции $ y=\frac1x $, но с выколотой точкой при $ x=8/5 $.

Пересечение с прямой $ y=kx $ задаётся уравнением $ \frac1x = kx $, то есть $ x^2=\frac1k $.

Обычно при $ k>0 $ получаются две точки пересечения. Ровно одна общая точка будет тогда, когда одна из них совпадёт с выколотой точкой.

Это происходит при $ x=8/5 $, откуда $ k=25/64 $.

Ответ: $\frac{25}{64}$.

Правильный ответ: 25/64

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Катеты прямоугольного треугольника равны 24 и 45. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: выразить высоту к гипотенузе через площадь, вычисленную двумя способами.

Шаг 1. Находим гипотенузу: c = √(24² + 45²) = √2601 = 51.

Шаг 2. Площадь треугольника через катеты: S = 24·$\frac{45}{2}$ = 540.

Шаг 3. Площадь через гипотенузу и высоту h: S = 51·h/2.

Шаг 4. Приравниваем: 51·h/2 = 540 ⟹ h = 24·$\frac{45}{51}$ = 360/17.

Ответ: 360/17.

Правильный ответ: 360/17

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 6 и 24, BD = 12. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: найти два равных угла у треугольников CBD и BDA.

Шаг 1. BC ∥ AD ⟹ ∠CBD = ∠BDA (накрест лежащие при секущей BD).

Шаг 2. Проверим соотношение сторон: BC/BD = $\frac{6}{12}$ = $\frac{1}{2}$, BD/AD = $\frac{12}{24}$ = $\frac{1}{2}$.

BD² = 12² = 144 = 6·24 = BC·AD. Значит BC/BD = BD/AD.

Шаг 3. Угол ∠CBD = ∠BDA (Шаг 1), а смежные стороны пропорциональны (Шаг 2).

По признаку подобия «угол и прилежащие стороны» △CBD ∼ △BDA. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M. AD = 9, MD = 3, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: полуокружность на BC как диаметре даёт прямой угол; ортоцентр связан с высотой.

Шаг 1. M лежит на полуокружности с диаметром BC → ∠BMC = 90°.

Значит DM ⊥ BC (M на высоте AD, и ∠BMC = 90° означает MD ⊥ BC — то есть M ∈ высоте).

Шаг 2. В прямоугольном треугольнике ABD: DM — высота из D на гипотенузу AB?

Свойство ортоцентра: AH · AD = AM² (отношение в прямоугольном треугольнике).

Шаг 3. AM = AD − MD = 9 − 3 = 6.

AM² = 36.

AH = AM² / AD = 36 / 9 = ... (проверяем формулой AH = AD − MD²/AD).

Шаг 4. AH = AD − MD²/AD = 9 − $\frac{9}{9}$ = 8.

Ответ: 8.

Правильный ответ: 8

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.