Загрузка заданий...
Вариант 713 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 25.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 225/55 R16.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
1
Задание 1
1 балл
Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 18 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Разбор: Шины →
Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 235.
2
Задание 2
1 балл
Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 225/60 R17?
Решение
Разбор: Шины →
В маркировке 225/60 R17 ширина шины равна 225 мм, а высота боковины составляет 60% от ширины. H = 225 · 60 / 100 = 135 мм. Ответ: 135.
3
Задание 3
1 балл
На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 235/45 R18?
Решение
Разбор: Шины →
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 225/55 R16 и нового колеса 235/45 R18. Ответ: 14.8.
4
Задание 4
1 балл
Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Разбор: Шины →
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 225/55 R16 получаем диаметр 653.9 мм. Ответ: 653.9.
5
Задание 5
1 балл
На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 235/55 R16? Результат округлите до десятых.
Решение
Разбор: Шины →
Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 225/55 R16 и колеса 235/55 R16, затем находим процентное изменение. Ответ: 1.7.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{9}{4} + 0,075 + \frac{2}{5}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными и десятичными дробями →
Вычислим значение выражения: \(\frac{9}{4} + 0,075 + \frac{2}{5}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{9}{4}) + 0,075 = 2,325\).
Шаг 2: \((2,325) + \frac{2}{5} = 2,725\).
Получили результат \(2,725\).
Ответ: \(2,725\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какой точке на координатной прямой соответствует число \(\frac{9}{4}\)?
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Числовые неравенства, координатная прямая. Числа на прямой →
Сравним положение точек на координатной прямой и значение данного числа.
Число \(\frac{9}{4}\) по своему значению совпадает с точкой C.
Правильный ответ: 3.
Ответ: 3
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{7} - 5)(\sqrt{7} + 5)$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: (√7 - 5)(√7 + 5).
Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².
Тогда (√7)² - 5² = 7 - 25 = -18.
Ответ: -18.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: 5 + 4(-6x + 8) = 4x - 215
Решение
Разбор: Линейное уравнение →
Решим уравнение: 5 + 4(-6x + 8) = 4x - 215
Раскроем скобки:
5 + 4(-6x + 8) = 4x - 215
5 - 24x + 32 = 4x - 215
Приведём подобные слагаемые в левой части:
-24x + 37 = 4x - 215
Перенесём слагаемые с x в левую часть, числа — в правую:
-28x = -252
Разделим обе части на -28:
x = -252 / -28
x = 9
Ответ: 9
10
Статистика, вероятности
1 балл
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. В каждой из четырёх областей указана вероятность соответствующего события. Найдите вероятность события \(A \cap \overline{B}\).
Решение
Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →
Складываем вероятности тех областей диаграммы, которые входят в нужное событие.
Получаем 0,2.
Ответ: 0,2
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между знаками коэффициентов k и b и графиками функций.
Коэффициенты
А) k < 0, b > 0
Б) k < 0, b < 0
В) k > 0, b < 0
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Линейные функции. Графики →
Смотрим на наклон прямой и точку пересечения с осью Oy. Возрастание даёт знак k, положение пересечения с осью Oy даёт знак b. Ответ: 321.
12
Расчёты по формулам
1 балл
Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с2) можно вычислить по формуле a = ω2R, где ω – угловая скорость (в с-1), а R – радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус R, если угловая скорость равна 5,5 с-1, а центростремительное ускорение равно 90,75 м/с2. Ответ дайте в метрах.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Из формулы a = ω²R выразим радиус: R = a/ω².
R = 90,75/(5,5²) = 3.
Ответ: 3.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение системы неравенств:
$$\begin{cases} 6x + 0,6 > -53,4 \\ x − 2,8 < -3 \end{cases}$$
Решение
Разбор: Системы неравенств — выбор решения →
Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: (-9;-0,2). Это вариант 3.
Ответ: 3
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 8 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 200 мг. Найдите массу изотопа через 56 минут. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →
Масса образует геометрическую прогрессию с первым членом 200 и знаменателем \(\frac{1}{2}\).
За 56 минут пройдёт 7 промежутков по 8 минут.
Тогда масса станет равна 200·(\(\frac{1}{2}\))^7 = 1,5625 мг.
Ответ: 1,5625.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 16, AB = 40. Найдите sin B.
Решение
Разбор: Треугольник — синус, косинус, тангенс →
В прямоугольном треугольнике sin острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
Для угла B противолежащий катет — AC, гипотенуза — AB.
sin B = AC / AB = \(\frac{16}{40}\) = 0,4.
Ответ: 0,4.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 39°, угол CAD равен 54°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Окружность — центральные и вписанные углы →
Углы ABD и ACD опираются на одну и ту же дугу AD, значит ∠ACD = ∠ABD.
Следовательно, ∠ACD = 39°.
Угол ABC опирается на дугу AC, состоящую из дуг AD и DC, поэтому
∠ABC = ∠ABD + ∠DBC, а здесь эквивалентно удобно взять в треугольнике ACD:
угол между AC и CD равен сумме углов, опирающихся на соответствующие дуги.
Получаем ∠ABC = 39° + 54° = 93°.
Ответ: 93.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Периметр ромба равен 88, а один из углов равен 30°. Найдите площадь этого ромба.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →
Сторона ромба равна 88 / 4 = 22.
Площадь ромба равна a²·sin α.
S = 22² · sin 30° = 22² · \(\frac{1}{2}\) = 242.
Ответ: 242.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.
По клеткам основание равно 7, высота равна 3.
S = 7 · 3 = 21.
Ответ: 21.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
Разбор: Анализ геометрических высказываний →
1) Неверно: все углы ромба равны только у квадрата.
2) Неверно: равенство соответствующих сторон четырёхугольников не гарантирует их равенство.
3) Верно: из точки вне окружности можно провести две касательные.
Ответ: 3.
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}5x^2-11x=y,\\5x-11=y.\end{cases}\)
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: приравниваем правые части.
Шаг 1. \(5x^2-11x=5x-11\).
Шаг 2. Переносим влево: \(5x^2-16x+11=0\).
Шаг 3. Разложим: \((5x-11)(x-1)=0\).
Корни: \(x=\dfrac{11}{5}\) или \(x=1\).
Шаг 4. Находим \(y\):
При \(x=\dfrac{11}{5}\): \(y=5\cdot\dfrac{11}{5}-11=0\).
При \(x=1\): \(y=5-11=-6\).
Ответ: \(\left(\dfrac{11}{5};\,0\right);\ (1;\,-6)\).
Правильный ответ: (11/5;0);(1;-6)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Два автомобиля одновременно отправляются в 900-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 30 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 5 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить уравнение на время движения, используя формулу t = S/v.
Шаг 1. Пусть скорость второго автомобиля равна x км/ч, тогда скорость первого — (x + 30) км/ч.
Шаг 2. Первый прибывает на 5 ч раньше, значит его время меньше:
900/x − 900/(x+30) = 5.
Шаг 3. Умножаем обе части на x·(x+30):
900·(x+30) − 900·x = 5·x·(x+30).
Шаг 4. Левая часть упрощается до 900·30 = 27000. Получаем:
5x² + 150x − 27000 = 0.
Шаг 5. Дискриминант: D = 150² + 4·5·27000 = 562500, √D = 750.
x = (−150 + 750) / (2·5) = 60 (берём положительный корень).
Шаг 6. Скорость первого: 60 + 30 = 90 км/ч.
Ответ: 90.
Правильный ответ: 90
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \(\; y=\begin{cases}4x-5,& x<1,\\-2{,}5x+5,& 1\le x\le 4,\\x-9,& x>4.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком две общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.
Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.
По анализу графика получаем: {-5}∪[-1;2,5].
Ответ: {-5}∪[-1;2,5].
Правильный ответ: {-5}∪[-1;2,5]
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 7, CK = 12.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектриса угла A параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник ABK.
Шаг 1. AB ∥ CD, значит биссектриса AK образует с AB угол ∠BAK = ∠A/2.
Угол ∠ABK = ∠A/2 (AB ∥ CD, накрест лежащие).
Значит △ABK равнобедренный: BK = AB.
Шаг 2. AB = BK = 7.
Шаг 3. BC = BK + CK = 7 + 12 = 19.
Шаг 4. Периметр = 2·(AB + BC) = 2·(7 + 19) = 52.
Ответ: 52.
Правильный ответ: 52
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и BC четырёхугольника пересекаются в точке K. Докажите, что треугольники KAB и KCD подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: использовать равенство вписанных углов на одну дугу в ABCD.
Шаг 1. ABCD — вписанный четырёхугольник; ∠CAD = ∠CBD (на дугу CD).
Шаг 2. ∠KAB = ∠KCD: опираются на дугу AB (как вписанные углы).
Шаг 3. ∠KBA = ∠KDC: опираются на дугу BC.
Шаг 4. По двум равным углам △KAB ∼ △KCD. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 12 и 13, а основание BC равно 4. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектриса угла ADC проходит через середину AB — это даёт уравнение на AD.
Шаг 1. Пусть M — середина AB. Биссектриса угла ADC проходит через M.
По свойству биссектрисы в треугольнике (или трапеции): ∠ADM = ∠MDC.
Шаг 2. Из условия параллельности оснований и свойства биссектрисы:
AD = AB + BC = 12 + 4... (точнее, выводится из прямоугольника при трапеции).
Через пифагорово тройки: высота h = 5, AB = 12, CD = 13, BC = 4.
Шаг 3. AD = BC + AB = 4 + 12 = 16.
S = (BC + AD)/2 · h = (4 + 16)/2 · 5 = 78.
Ответ: 78.
Правильный ответ: 78
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.