Загрузка заданий...

Вариант 3452 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На плане изображён дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зелёная, д. 19.

Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота. При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв. м, а чуть подальше — жилой дом.

Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведёт дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри. Огород отмечен на плане цифрой 6. Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1 м × 1 м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без дополнительных символов.

Объекты	гараж	баня	жилой дом	яблони
Цифры

Решение

Разбор: Дачный участок — задание 1 →

Сопоставляем описание объектов и их расположение на плане: гараж — 2, баня — 4, жилой дом — 7, яблони — 3.

В таблице объекты стоят в порядке: гараж, баня, жилой дом, яблони.

Получаем последовательность: 2473.

Ответ: 2473

2 Задание 2 1 балл

Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 4 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки?

Решение

Разбор: Дачный участок — задание 2 →

На все дорожки нужно 25 плиток.

В одной упаковке 4 плиток, поэтому потребуется ⌈25 / 4⌉ = 7 упаковок.

Ответ: 7.

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь открытого грунта огорода (вне теплицы). Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Разбор: Дачный участок — задание 3 →

Площадь огорода равна 120 кв. м, площадь теплицы — 12 кв. м. Площадь открытого грунта: 120 - 12 = 108 кв. м.

Ответ: 108.

4 Задание 4 1 балл

На сколько процентов площадь, которую занимает гараж, больше площади, которую занимает теплица?

Решение

Разбор: Дачный участок — задание 4 →

Разность площадей: 48 - 12 = 36. Сравниваем с площадью теплицы: (48 - 12) / 12 · 100% = 300%.

Ответ: 300.

5 Задание 5 1 балл

	Нагреватель (котёл)	Прочее оборудование и монтаж	Средн. расход газа / средн. мощность	Стоимость газа / электроэнергии
Газовое отопление	22 000 руб.	20 105 руб.	1,5 куб. м/ч	4,9 руб./куб. м
Электр. отопление	19 000 руб.	16 000 руб.	4,9 кВт	4,4 руб./(кВт·ч)

Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице. Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое отопление. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разницу в стоимости покупки и установки газового и электрического оборудования?

Решение

Разбор: Дачный участок — задание 5 →

Начальные расходы на газовое отопление: 42105 руб.

Начальные расходы на электрическое отопление: 35000 руб.

Разница в начальных расходах: 42105 - 35000 = 7105 руб.

Почасовая стоимость газового отопления: 1,5 · 4,9 = 7,35 руб./ч.

Почасовая стоимость электрического отопления: 4,9 · 4,4 = 21,56 руб./ч.

Экономия за час: 21,56 - 7,35 = 14,21 руб./ч.

Ищем время окупаемости: 7105 / 14,21 = 500.

Ответ: 500.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{8}{25} + 0,005$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с обыкновенными и десятичными дробями →

Вычислим значение выражения: $\frac{8}{25} + 0,005$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{8}{25}) + 0,005 = 0,325$.

Получили результат $0,325$.

Ответ: $0,325$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу $\frac{\sqrt{8}}{2}$. Какая это точка?

В ответе укажите номер правильного варианта.

Решение

Разбор: Числовые неравенства, координатная прямая. Числа на прямой →

Сравним положение точек на координатной прямой и значение данного числа.

Число $\frac{\sqrt{8}}{2}$ по своему значению совпадает с точкой A.

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$5\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{11} \cdot \sqrt{22}$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: 5√2 · 3√11 · √22.

Перемножим коэффициенты: 5 · 3 = 15.

Подкоренные выражения дают: √2 · √11 · √22 = √(2·11·22) = √(484) = 22.

Тогда всё выражение равно 15 · 22 = 330.

Ответ: 330.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} 7x + 4y = -14 \\ -6x - 8y = 12 \end{cases}$$

Решение

Разбор: Система уравнений →

Решим систему:

7x + 4y = -14

-6x - 8y = 12

Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -6, а второе — на 7.

Получим:

$(7x + 4y = -14) \cdot -6$: -42x - 24y = 84

$(-6x - 8y = 12) \cdot 7$: -42x - 56y = 84

Вычтем второе уравнение из первого:

32y = 0

y = 0 / 32 = 0

Подставим y = 0 в первое уравнение:

7x + 4y = -14

Получаем x = -2.

Ответ: (-2;0)

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. В каждой области указано, сколько исходов принадлежит этой области. Найдите вероятность события $\overline{A} \cup B$.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →

Всего исходов: 50. Вероятность события $\overline{A} \cup B$ равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

$P=36/50=0,72$.

Ответ: 0,72

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

Коэффициенты

А) a > 0, c > 0

Б) a > 0, c < 0

В) a < 0, c > 0

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Квадратичная функция. Графики →

Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 312.

12 Расчёты по формулам 1 балл

В фирме «Родник» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле C = 6000 + 4100n, где n – число колец, установленных в колодце. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 7 колец.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Подставим n = 7 в формулу C = 6000 + 4100n.

C = 6000 + 4100·7 = 34700.

Ответ: 34 700.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.

x² - 9 > 0

x² - 9 < 0

x² - 9 ≥ 0

x² - 9 ≤ 0

Решение

Разбор: Квадратные неравенства →

Смотрим на отмеченные корни и закрашенные промежутки. Этому соответствует вариант 2.

Ответ: 2

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 4 мг. За каждые 30 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 150 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение

Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →

Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 4, q = 3.

За 150 минут пройдёт 5 промежутков по 30 минут.

Получаем массу 4·3^5 = 972 мг.

Ответ: 972.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Сторона треугольника равна 14, а высота, проведённая к этой стороне, равна 17. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Разбор: Треугольник — площадь →

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

S = $\frac{1}{2}$ · 14 · 17 = 238/2 = 119.

Ответ: 119.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 3√3. Найдите длину стороны этого треугольника.

Решение

Разбор: Окружность — вписанные окружности →

Для равностороннего треугольника r = a√3 / 6.

Значит, a = 2r√3 = 2 · 3√3 · √3 = 18.

Ответ: 18.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

В равнобедренной трапеции с основаниями AD и BC угол D равен 83°. Диагональ AC образует со стороной AB угол 23°. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и меньшим основанием трапеции?

Решение

Разбор: Четырёхугольники — трапеция →

Угол A трапеции равен 180° - 83° = 97°.

Диагональ делит угол A на два: 23° и искомый.

Искомый угол равен 97° - 23° = 74°.

Ответ: 74.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.

По клеткам диагонали равны 10 и 8.

S = 10 · 8 / 2 = 40.

Ответ: 40.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом.

Тангенс любого острого угла меньше единицы.

Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Неверно.

2) Неверно: тангенс острого угла может быть больше 1.

3) Верно.

Ответ: 3.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $\frac{-16}{(x+2)^2-5}\ge 0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: числитель $-16<0$, дробь $\ge0$ только при отрицательном знаменателе.

Шаг 1. Условие: $(x+2)^2-5<0$.

Шаг 2. $(x+2)^2<5$.

Шаг 3. $-\sqrt{5}<x+2<\sqrt{5}$.

Шаг 4. Вычитаем 2: $-2-\sqrt{5}<x<-2+\sqrt{5}$.

Ответ: $(-2-\sqrt{5};\; -2+\sqrt{5})$.

Правильный ответ: (-2-√5;-2+√5)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Баржа прошла по течению реки 88 км и, повернув обратно, прошла ещё 72 км, затратив на весь путь 10 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: скорость по течению = v + u, против = v − u; сумма времён двух участков = total.

Шаг 1. Пусть собственная скорость баржи равна x км/ч.

По течению: x + 5. Против течения: x − 5.

Шаг 2. Составляем уравнение на суммарное время:

88/(x + 5) + 72/(x − 5) = 10.

Шаг 3. Умножаем на (x+5)(x−5) = x²−25:

88(x−5) + 72(x+5) = 10(x²−25).

Шаг 4. Раскрываем и группируем: квадратное уравнение относительно x.

Шаг 5. Решение (положительный корень): x = 17.

Шаг 6. Проверка: $\frac{88}{22}$ = 4 ч, $\frac{72}{12}$ = 6 ч, сумма 10 ч. ✓

Ответ: 17.

Правильный ответ: 17

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = -x^2 + 2|x| - 3\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 2x - 3.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 2x - 3.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -3. В этой точке у графика локальный минимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = -3.

Проверка: при m = -3 уравнение имеет корни x = −2, x = 0, x = 2 — ровно три точки.

Ответ: -3.

Правильный ответ: -3

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 32, BF = 24.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: углы трапеции при боковой стороне — смежные, их биссектрисы перпендикулярны.

Шаг 1. В трапеции AD ∥ BC, значит ∠A + ∠B = 180° (как внутренние односторонние углы).

Шаг 2. Биссектрисы делят углы пополам: ∠FAB + ∠FBA = 90°.

Значит в △AFB угол при F равен 90° — треугольник AFB прямоугольный.

Шаг 3. По теореме Пифагора: AB = √(AF² + BF²) = √(32² + 24²) = √1600 = 40.

Ответ: 40.

Правильный ответ: 40

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках O₁ и O₂ не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении p:q. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как p:q.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: точка T пересечения касательной с линией центров — центр гомотетии.

Шаг 1. Проведём радиусы O₁A и O₂B к точкам касания касательной.

Оба радиуса ⊥ касательной ⟹ O₁A ∥ O₂B.

Шаг 2. В треугольниках TO₁A и TO₂B (T — точка на O₁O₂):

∠ATO₁ = ∠BTO₂ (вертикальные), O₁A ∥ O₂B ⟹ оба треугольника подобны.

Коэффициент подобия = TO₁/TO₂ = p:q.

Шаг 3. TO₁/TO₂ = r₁/r₂ = d₁/d₂.

Следовательно, диаметры относятся как p:q. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 40. Найдите стороны треугольника ABC.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса BE оказывается высотой во вспомогательном треугольнике ABD.

Шаг 1. Точка D лежит на BC, поэтому BE делит угол ABD пополам; по условию BE ⊥ AD.

Биссектриса треугольника ABD, перпендикулярная стороне AD, является в нём также высотой и медианой ⟹ △ABD равнобедренный: BA = BD.

Так как D — середина BC, то BD = BC/2, поэтому BC = 2·AB.

Шаг 2. Пусть O = AD ∩ BE. Возьмём O = (0, 0), ось x — вдоль AD: A = (−20, 0), D = (20, 0) (|AD| = 40).

В равнобедренном △ABD высота BO попадает в середину AD, поэтому B = (0, −h), где h = BO.

Шаг 3. D — середина BC ⟹ C = 2D − B = (40, h). На прямой BE точка E = (0, 40 − h), так как BE = 40.

Шаг 4. Условие «E лежит на AC» даёт h = 3·$\frac{40}{4}$ = 30.

Шаг 5. AB = √(h² + (20)²) = √(900 + 400) = 10√13;

BC = 2·AB = 20√13; CA = 30√5.

Ответ: 10√13; 20√13; 30√5.

Правильный ответ: 10√13; 20√13; 30√5

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.