Загрузка заданий...

Вариант 3879 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На плане изображён дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зелёная, д. 19.

Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота. При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв. м, а чуть подальше — жилой дом.

Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведёт дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри. Огород отмечен на плане цифрой 6. Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1 м × 1 м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без дополнительных символов.

Объекты	яблони	теплица	сарай	жилой дом
Цифры

Решение

Разбор: Дачный участок — задание 1 →

Сопоставляем описание объектов и их расположение на плане: яблони — 3, теплица — 5, сарай — 1, жилой дом — 7.

В таблице объекты стоят в порядке: яблони, теплица, сарай, жилой дом.

Получаем последовательность: 3517.

Ответ: 3517

2 Задание 2 1 балл

Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 8 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?

Решение

Разбор: Дачный участок — задание 2 →

На все дорожки уходит 25 плиток, на площадку между сараем и гаражом — 40 плиток. Всего нужно 65 плиток.

В одной упаковке 8 плиток, поэтому потребуется ⌈65 / 8⌉ = 9 упаковок.

Ответ: 9.

3 Задание 3 1 балл

Найдите расстояние от жилого дома до гаража (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах.

Решение

Разбор: Дачный участок — задание 3 →

Ближайшие точки жилого дома и гаража находятся на расстоянии 3 клеток по вертикали. Одна клетка соответствует 2 м, поэтому расстояние равно 3 · 2 = 6 м.

Ответ: 6.

4 Задание 4 1 балл

Сколько процентов от площади всего огорода занимает теплица?

Решение

Разбор: Дачный участок — задание 4 →

Площадь теплицы 12 кв. м, площадь огорода 120 кв. м. 12 / 120 · 100% = 10%.

Ответ: 10.

5 Задание 5 1 балл

Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице. Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое отопление. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разницу в стоимости покупки и установки газового и электрического оборудования?

	Нагреватель (котёл)	Прочее оборудование и монтаж	Средн. расход газа / средн. мощность	Стоимость газа / электроэнергии
Газовое отопление	18 000 руб.	13 896 руб.	1,6 куб. м/ч	4,7 руб./куб. м
Электр. отопление	15 000 руб.	9 000 руб.	4,7 кВт	4,4 руб./(кВт·ч)

Решение

Разбор: Дачный участок — задание 5 →

Начальные расходы на газовое отопление: 31896 руб.

Начальные расходы на электрическое отопление: 24000 руб.

Разница в начальных расходах: 31896 - 24000 = 7896 руб.

Почасовая стоимость газового отопления: 1,6 · 4,7 = 7,52 руб./ч.

Почасовая стоимость электрического отопления: 4,7 · 4,4 = 20,68 руб./ч.

Экономия за час: 20,68 - 7,52 = 13,16 руб./ч.

Ищем время окупаемости: 7896 / 13,16 = 600.

Ответ: 600.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{3}{20} + 5 \cdot 0,005$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с обыкновенными и десятичными дробями →

Вычислим значение выражения: $\frac{3}{20} + 5 \cdot 0,005$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(5) \cdot 0,005 = 0,025$.

Шаг 2: $(\frac{3}{20}) + 0,025 = 0,175$.

Получили результат $0,175$.

Ответ: $0,175$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какому из следующих чисел соответствует точка A на координатной прямой?

В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{-25}{7}$

-1,6

$\frac{\sqrt{12}}{2}$

$\frac{13}{6}$

Решение

Разбор: Числовые неравенства, координатная прямая. Числа на прямой →

По чертежу видно, что точка A имеет координату между -4 и -3.

Сравним варианты по приближённым значениям:

1) $\frac{-25}{7}$ ≈ -3,5714

2) -1,6 ≈ -1,6

3) $\frac{\sqrt{12}}{2}$ ≈ 1,7321

4) $\frac{13}{6}$ ≈ 2,1667

Точке A соответствует вариант 1.

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{4} - 3)(\sqrt{4} + 3)$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: (√4 - 3)(√4 + 3).

Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².

Тогда (√4)² - 3² = 4 - 9 = -5.

Ответ: -5.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² - 13x + 42 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Разбор: Квадратное уравнение →

Решим уравнение: x² - 13x + 42 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = -13, c = 42.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = -13² - 4·1·42 = 1.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня.

x₁ = (13 - √1) / 2 = 6

x₂ = (13 + √1) / 2 = 7

Ответ: 6;7

10 Статистика, вероятности 1 балл

У бабушки 50 чашек: 36 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →

Всего равновозможных исходов: 50.

Благоприятных исходов: 14 (чашка с синими цветами).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{14}{50}$ = 0,28.

Ответ: 0,28.

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

Функции

А) $y = -x + 2$

Б) $y = -3x$

В) $y = 3x + 4$

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Линейные функции. Графики →

Сопоставляем наклон и точку пересечения с осью Oy для каждой формулы. Ответ: 231.

12 Расчёты по формулам 1 балл

Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с²) можно вычислить по формуле a = ω²R, где ω – угловая скорость (в с^-1), а R – радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус R, если угловая скорость равна 7,5 с^-1, а центростремительное ускорение равно 450 м/с². Ответ дайте в метрах.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Из формулы a = ω²R выразим радиус: R = a/ω².

R = 450/(7,5²) = 8.

Ответ: 8.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

-3x - 3 > -4x + 2

(-∞;0)

(-5;+∞)

(5;+∞)

(-∞;-5)

Решение

Разбор: Линейные неравенства — выбор промежутка →

Решим неравенство: -3x - 3 > -4x + 2.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 1x > 5.

Делим обе части на 1: x > 5.

Значит, x больше 5.

Этому соответствует промежуток (5;+∞).

Правильный ответ: 3.

Ответ: 3

14 Задачи на прогрессии 1 балл

У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 240 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 10 см?

Решение

Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →

Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 240, q = $\frac{1}{3}$.

Проверяем последовательно: после 3-го отскока высота ещё не меньше 10 см, а после 4-го уже меньше.

Ответ: 4.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 72°. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.

Решение

Разбор: Треугольник — углы →

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.

Другой острый угол равен 90° - 72° = 18°.

Ответ: 18.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Отрезки AC и BD – диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 59°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение

Разбор: Окружность — центральные и вписанные углы →

Угол ACB — вписанный и опирается на дугу AB, значит центральный угол AOB равен 2·∠ACB.

∠AOB = 2 · 59° = 118°.

Так как AC и BD — диаметры, лучи OA и OC противоположны, а OB и OD противоположны.

Значит, ∠AOD и ∠AOB — смежные центральные углы.

∠AOD = 180° - 118° = 62°.

Ответ: 62.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины C, делит основание AD на отрезки длиной 3 и 11. Найдите длину основания BC.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — трапеция →

В равнобедренной трапеции при опускании высоты на большее основание оно делится на отрезки x и x+BC.

Следовательно, BC = 11 - 3 = 8.

Ответ: 8.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →

Диагонали ромба на рисунке идут по горизонтали и вертикали.

По клеткам их длины равны 6 и 6.

Большая диагональ равна 6.

Ответ: 6.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.

Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.

В любой четырёхугольник можно вписать окружность.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Верно.

2) Неверно.

3) Неверно.

Ответ: 1.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите систему уравнений: $\begin{cases}5x^2-9x=y,\\5x-9=y.\end{cases}$

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: приравниваем правые части системы.

Шаг 1. $5x^2-9x=5x-9$.

Шаг 2. Переносим влево: $5x^2-14x+9=0$.

Шаг 3. Разложим: $(5x-9)(x-1)=0$.

Корни: $x=\dfrac{9}{5}$ или $x=1$.

Шаг 4. Находим $y$:

При $x=\dfrac{9}{5}$: $y=5\cdot\dfrac{9}{5}-9=0$.

При $x=1$: $y=5-9=-4$.

Ответ: $\left(\dfrac{9}{5};\,0\right);\ (1;\,-4)$.

Правильный ответ: (9/5;0);(1;-4)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью 56 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью больше скорости первого на 9 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: время первого автомобиля равно времени второго, разделить путь на половины.

Шаг 1. Пусть скорость первого автомобиля равна x км/ч, длина пути — S км.

Шаг 2. Время первого: S/x. Время второго: S/(2·56) + S/(2·(x+9)).

Шаг 3. Прибыли одновременно, значит: S/x = S/(2·56) + S/(2·(x+9)).

Шаг 4. Делим на S и умножаем на 2·56·x·(x+9):

2·56·(x+9) = x·(x+9) + 56·x.

Шаг 5. Раскрываем и упрощаем: x² + -47x − 1008 = 0.

Шаг 6. D = -47² + 4·1008 = 6241, √D = 79.

x = (−-47 + 79) / 2 = 63 (берём положительный корень).

Ответ: 63.

Правильный ответ: 63

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{(x^2+2,25)((x-1))}{1-x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.

После сокращения получаем $ y=-(x^2+2,25),\ x\ne 1 $.

После сокращения получаем параболу $ y=-(x^2+a) $, но точка при $ x=1 $ выколота. Прямая $ y=kx $ имеет одну общую точку в трёх случаях: касается параболы в вершине; проходит через выколотую точку и ещё пересекает график один раз; проходит через выколотую точку как касательная к полной параболе.

Из анализа пересечений с прямой $ y=kx $ получаем: $ k=-3,25; -3; 3 $.

Ответ: $ -3,25; -3; 3 $.

Правильный ответ: -3,25; -3; 3

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен 8,4, а AB = 4.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: использовать формулу D = (AC² − AB²)/AC и решить уравнение относительно AC.

Шаг 1. Из условия задачи D = 8,4, AB = 4.

Шаг 2. Формула: D = (AC² − AB²)/AC ⟹ D·AC = AC² − AB².

AC² − 8,4·AC − 4² = 0.

Шаг 3. Решаем квадратное уравнение: AC² − 8,4·AC − 16 = 0.

Положительный корень: AC = 10.

Проверка: D = (10² − 4²)/10 = $\frac{84}{10}$ = 8,4. ✓

Ответ: 10.

Правильный ответ: 10

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AB. Точка K — середина стороны BC. Докажите, что AK — биссектриса угла BAD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: доказать равнобедренность треугольника внутри параллелограмма.

Шаг 1. BC = 2·AB (по условию), K — середина BC.

Значит BC/2 = AB/2 ... нет: BC = BC, BC/2 = AB.

Шаг 2. В параллелограмме AB ∥ смежной стороне, поэтому в треугольнике,

образованном AK и соседними сторонами, два угла при основании равны.

(Накрест лежащие углы при параллельных прямых.)

Шаг 3. Равенство двух углов ⟹ равнобедренность ⟹ AK — биссектриса угла BAD. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 44. Найдите стороны треугольника ABC.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса BE оказывается высотой во вспомогательном треугольнике ABD.

Шаг 1. Точка D лежит на BC, поэтому BE делит угол ABD пополам; по условию BE ⊥ AD.

Биссектриса треугольника ABD, перпендикулярная стороне AD, является в нём также высотой и медианой ⟹ △ABD равнобедренный: BA = BD.

Так как D — середина BC, то BD = BC/2, поэтому BC = 2·AB.

Шаг 2. Пусть O = AD ∩ BE. Возьмём O = (0, 0), ось x — вдоль AD: A = (−22, 0), D = (22, 0) (|AD| = 44).

В равнобедренном △ABD высота BO попадает в середину AD, поэтому B = (0, −h), где h = BO.

Шаг 3. D — середина BC ⟹ C = 2D − B = (44, h). На прямой BE точка E = (0, 44 − h), так как BE = 44.

Шаг 4. Условие «E лежит на AC» даёт h = 3·$\frac{44}{4}$ = 33.

Шаг 5. AB = √(h² + (22)²) = √(1089 + 484) = 11√13;

BC = 2·AB = 22√13; CA = 33√5.

Ответ: 11√13; 22√13; 33√5.

Правильный ответ: 11√13; 22√13; 33√5

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.